acwing 843. n-皇后问题

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  • 输入样例：
  • 输出样例：
• dfs算法求解
  • 分析
  • 代码
• 另一种枚举方式
  • 时间复杂度
• 参考文章

题目描述

n?皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

dfs算法求解

分析

dfs顺序很重要

采用全排列的dfs模板，用每一层u代表棋盘的每一行

然后在每一层dfs里面枚举每一列 i

画个图可以得到每个正对角线的编号分别为 u+i

副对角线的编号为i - u，为了防止出现负数，整体加上n，所以是i-u+n

代码

#include
#include
#include
using namespace std;

const int N = 10;

char g[N][N]; 
int n;
bool col[N], dg[N], udg[N]; // 用于标记每一列、正对角线、负对角线是否占用

// u 表示第u行 
void dfs(int u)
{ 
	if(u == n)
	{
		for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
		puts(""); 
		return ;	
	}	
	
	// i 表示第i列 
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		// u表示行，i表示列，u+i表示正对角线的编号，i-u+n表示负对角线编号 
		if(!col[i] && !dg[u+i] && !udg[i-u+n])
		{
			g[u][i] = 'Q'; // 都不冲突的话，就把一个皇后放到这里 
			col[i] = dg[u+i] = udg[i-u+n] = true; // 表示该列、对角线被占用 
			dfs(u+1); //下一行
            
			g[u][i] = '.'; 
			col[i] = dg[u+i] = udg[i-u+n] = false; // 
			
		}
	}
}




int main()
{
	scanf("%d", &n);
	// 初始化g
	for(int i = 0; i < n; i++) 
		for(int j = 0; j < n; j++)
			g[i][j] = '.';
	
	dfs(0);
	
	return 0;
}

另一种枚举方式

// 按照从上到下，每一行从左到右顺序
// 枚举每一个(x,y)是否放一个皇后

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 10;
bool row[N], col[N], dg[2*N], udg[2*N]; // 每一行、列、对角线是否被占用 

char g[N][N];
int n;

// 按照从上到下，每一行从左到右顺序 
// 枚举每一个(x,y)是否放一个皇后 
void dfs(int x, int y, int s)
{
	if(y == n) //到了一行的结束， 去下一行 
	{
		y = 0;
		x++;
	}
	if(x == n) // 到了最后一行 
	{
		if(s == n) // 放了n个皇后了 
		{
			for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
			puts("");
			return; 
		 } 
		return ;
	 } 
	 // 然后枚举每一个位置放or不放
	 // 不放 
	 dfs(x, y+1, s);
	 //能放就放
	 if(!row[x] && !col[y] && !dg[x+y] && !udg[x-y+n])
	 {
	 	g[x][y] = 'Q';
	 	row[x] = col[y] = dg[x+y] = udg[x-y+n] =  true;
	 	dfs(x, y+1, s+1); //本位置放了一个皇后，看下一个位置
		row[x] = col[y] = dg[x+y] = udg[x-y+n] =  false;
		g[x][y] = '.'; // 恢复现场	
	 } 

}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++)
			g[i][j] = '.';
	dfs(0, 0, 0); // 从(0,0)开始，当前放了0个皇后
	return 0; 
 } 

时间复杂度

参考文章

https://www.acwing.com/activity/content/code/content/47097/