第四章置换群

第章

第章
1.1节置换群的一般性质
1.置换
1）定义：n个客体排列次序的变换称为置换（背）；n个客体共有n!个不同的置换
2）矩阵表示：设原来排在第j位置的客体，经过置换R后排到了第

r_{j}

位置（背，非常重要，用这句话才能理解置换矩阵），用2×n矩阵来描写这一置换R：
3）置换的性质：
2.n个客体置换群Sn
1）定义：n个客体的n!个置换的集合满足群的四个条件，构成群，称为n个客体置换群，记作Sn
2)子群：
3.轮换和对换
1）轮换：轮换是一类特殊的置换：

n ? l

个客体保持不变，余下的

l

个客体顺序变换（背），形成一个循环；

l

称为轮换长度
2）轮换的性质
2）置换分解为轮换乘积
a.任何一个置换，都可以唯一地分解为没有公共客体的轮换乘积
b.该置换的轮换结构：把一置换分解为没有公共客体的轮换乘积时，各轮换长度的集合（背），称为该置换的轮换结构
c.配分数：把一个正整数n分解为若干个正整数之和，这样的若干个正整数的集合称为n的一组配分数
d.置换的轮换结构由n的一组配分数来描写（背）：
e.两轮换有一个公共客体时乘积的计算方法
f.两轮换有两个或多个公共客体时乘积的计算方法
4.置换群的类
1）

R

的共轭元素:

{SRS}^{? 1}

2）互相共轭的两置换有相同的轮换结构
3）有相同轮换结构的两置换必定互相共轭
4）具有相同轮换结构的置换构成置换群

S_{n}

的一个类（背）
5）置换群的类由置换的轮换结构来描写，而置换的轮换结构由一组配分数来描写，故置换群的类数、不等价不可约表示的个数都等于整数n分解为不同配分数的数目（背）
6）置换群的某个类中的元素数目公式
5.交变子群
2）奇置换、偶置换
3）交变子群
4）置换宇称
6.置换群的生成元
7.Cayley定理：任何一个n阶有限群都与置换群Sn的一个子群同构
1.2节杨图、杨表和杨算符
1.杨图
1）一个配分数

(λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})

标记置换群的一个不等价不可约表示（取名字而已，没有物理意义）
2）杨图：对配分数

[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]

, 画

m

行方格图，左边对齐，第一行含

λ_{1}

格，第二行含

λ_{2}

格，以此类推，这样的方格图称为配分数

[λ]

对应的杨图，简称杨图

[λ]

（背）
每个杨图都唯一地对应于置换群

S_{n}

的一个不等价不可约表示（背），不同杨图对应的不可约表示不等价
杨图的大小：对两个杨图

[λ] 和 [λ^{'}]

，从第一行开始逐行比较它们格子数的多少，第一次出现格子数不同时，格子数多的杨图大
对偶杨图：把杨图 [

λ

] 的行和列互换得到的杨图

[\tilde{λ}]

称为杨图 [

λ

] 的对偶杨图（背），对偶杨图对应的不可约表示称为对偶表示
2.杨表
1）杨表：对于给定的杨图

[λ]

，把 1 到

n

的

n

个自然数分别填入杨图的

n

个格子中，就得到一个杨表（杨盘）（背）
2）正则杨表：从左到右是增加的，从上到下也是增加的（背）
3）维数定理: 置换群

S_{n}

的不可约表示

[λ]

的维数，等于杨图

[λ]

对应的正则杨表的个数
钩形数规则
3.杨算符
1）横向置换：保持杨表中同一行的数字只在这一行中变动的置换称为横向置换，记作

p

, 所有横向置换的集合记作

R (λ)

2）纵向置换
3）横算符：所有横向置换之和称为给定杨表的横算符（背，后面的题）
4）纵算符：所有纵向置换乘以各自的置换宇称后相加，称为给定杨表的纵算符（背，后面的题）
给定杨表横（纵）算符的写法（背，重要）
5）杨算符：横算符乘以纵算符，称为给定杨表的杨算符（背，可以计算杨算符）
正则杨算符：正则杨表对应的杨算符称为正则杨算符，默认以后说的都是正则杨算符，以后省略正则两个字。
横向置换、纵向置换、横算符、纵算符、杨算符均为群代数中的矢量（背）
杨算符

Y \neq 0

杨图

Y

和杨表

Y

例TOC

1.1节置换群的一般性质

1.置换

1）定义：n个客体排列次序的变换称为置换（背）；n个客体共有n!个不同的置换

2）矩阵表示：设原来排在第j位置的客体，经过置换R后排到了第 $r_{j}$ 位置（背，非常重要，用这句话才能理解置换矩阵），用2×n矩阵来描写这一置换R：

原来排在第一个位置的客体排到第二个，原来排在第二个位置的客体 $φ_{2}$ 经过置换R后排到了第3个位置。

置换有另一种定义：第j位置的客体置换后为第 $r_{j}$ 位置的客体。与我们的定义互逆。（这个定义不用学。

对这个例子来说：谁在第一个位置？从下往上：第二个位置的客体排到第一个位置，第三个位置的客体排到第二个位置，第一个位置的客体排到第三个位置：

3）置换的性质：

对一给定的置换，各列的排列次序无关紧要，重要的是每一列上下两个数字间的对应关系

从上面的例子，调换两列的顺序不影响结果
两个置换的乘积定义为相继做两次置换
求置换乘积SR的方法（非常非常重要，背，后面一直经常用，只要遇到两个置换相乘，就可以用）：重新排列R或S的各列，使R的第二行和S的第一行排列一样，且顺序为1，2，3等，由R的第一行和S的第二行组成的2×n矩阵即为SR
通过特殊值法举例可以理解这个方法：

注意乘积SR是先进行 $R$ 置换，再进行 $S$ 置换：将第五个元素排到第一个元素，再将第一个元素排到第三个元素，故SR中是将第五个元素排到第三个元素。置换的理解：其实应该将其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 来理解。（背）
另一种求置换的乘积的方法：写成这种形式：这是北大书中的方法，我觉得这种方法不如上面的方法好。以后还是用上面的方法。

其实这种形式完全和上一种方法一样。这种方法本质上和上一种方法一样，只是写法不同。

SR可以理解为把R置换的第二行数字（即12345）作S置换，或者把S置换的第一行数字作 $R_{? 1}$ 置换（后面会讲逆置换是什么）：就是将12345作 $R_{? 1}$ 置换，即：

置换用矩阵来描写，但置换的乘积不服从矩阵乘积规则

2.n个客体置换群Sn

1）定义：n个客体的n!个置换的集合满足群的四个条件，构成群，称为n个客体置换群，记作Sn

逆元：把置换的上下两行交换得到的置换是逆置换

证明：注意是两个置换相乘，故可以通过“求置换乘积SR的方法”来理解！或将其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 来理解。

2)子群：

n 个客体中 m 个客体的所有置换变换构成置换群 Sm ，显然 Sm 是 Sn 的子群 (m ≤ n)

Sm是Sn中的一个集合，且满足群的条件，故是子群。

3.轮换和对换

1）轮换：轮换是一类特殊的置换： $n ? l$ 个客体保持不变，余下的 $l$ 个客体顺序变换（背），形成一个循环； $l$ 称为轮换长度

注意置换的理解：其实应该将其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 来理解。

2）轮换的性质

用行矩阵描写轮换时，数字的排列次序不能改变，但可以顺序变换（背）

因为行矩阵的排列顺序是第一个位置的客体排第二个，第二个客体排第三个...，故不能改变次序。
长度为1的轮换是恒等变换
对换：长度为2的轮换称为对换，对换满足

是两个置换相乘，它的证明也可以用”求置换乘积SR的方法“来理解！，
，左边第一行和右边第二行可以消掉，故最后得到E。
长度为 $l$ 的轮换，它的 $l$ 次自乘等于恒元，即它的阶数为 $l$

注意从置换的理解：其实应该将其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 来理解。就可以理解上面这个性质。
两个没有公共客体的轮换，乘积次序可以交换（背）

从“置换的理解：其实应该将其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 来理解。”也可以理解这个性质。
轮换的逆：轮换的逆就是将所有元素换个顺序

置换的逆是上下两行交换。

2）置换分解为轮换乘积

a.任何一个置换，都可以唯一地分解为没有公共客体的轮换乘积

证明：
对任一给定的置换R，任选一数 $a_{1}$ （ $a_{1}$ 表示第 $a_{1}$ 位置上的元素），经过R置换后，第 $a_{1}$ 位置上的元素排到第a2个位置，原来排在第a2位置上的元素排到a3，以此类推，总会有某个数如第al位置上的元素会排到第a1个位置，这样就形成了一个循环，即置换R中存在一个包含a1的长度为l的轮换（根据轮换的定义知，这是轮换，因为“余下的 $l$ 个客体顺序变换”，且见上面轮换定义中的表达式）

将这个例子套上面这句话就可以理解上面这段换。

在余下的数字中，任选一b1，用与上面同样的办法，可以找到一个包含b1的循环，即置换R中存在一个包含b1的轮换，它与包含a1的轮换无公共客体，乘积次序可交换。
把这做法继续下去，总能穷尽全部n个数，从而把置换R分解为若干没有公共客体的轮换的乘积，这些轮换的乘积次序可以互相交换。
在分解中出现的长度为1的轮换（恒元）可以略去。

因为是恒元，故可以略去。

b.该置换的轮换结构：把一置换分解为没有公共客体的轮换乘积时，各轮换长度的集合（背），称为该置换的轮换结构

表达一个置换的轮换结构时，轮换长度的排列顺序可以任意

从“置换的理解：其实应该将其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 来理解。”可以理解这个性质。

c.配分数：把一个正整数n分解为若干个正整数之和，这样的若干个正整数的集合称为n的一组配分数

d.置换的轮换结构由n的一组配分数来描写（背）：

n个客体（重要，背）

e.两轮换有一个公共客体时乘积的计算方法

两轮换有一个公共客体时，连接（背，重要：特别注意连接的时候，连接的那个元素d依然存在，易错）：

其中用了“求置换的乘积SR的方法”。

有一个公共客体的两个轮换的乘积：在每个轮换内部，把公共客体通过顺序变换移到最右或最左，然后按上面公式把两个轮换接起来.

用行矩阵描写轮换时，数字的排列次序不能改变，但可以顺序变换

例 $: (123) (4256) = (312) (2564) = (312564)$

把一个轮换分解为有一个公共客体的两个轮换乘积：在轮换的任意一个位置砍一刀
在轮换中任意客体的位置，例如d处，把轮换切断成两个轮换的乘积，并让d同时出现在两个轮换的最右或最左位置。

f.两轮换有两个或多个公共客体时乘积的计算方法

先砍一刀，再顺序变换

注意后两个没有公共客体，没有公共客体的轮换，乘积次序可以交换

方法：把轮换在公共客体中切断，经过顺序变换和切断使得两个公共客体形成可以消掉的对换，将对换消掉，再由“没有公共客体的轮换，乘积次序可以交换“得到最后结果。（记）
基本思想：把轮换在公共客体中切断，化为[每对轮换乘积只有一个公共客体的形式]后再相乘，其中运用了5个规则(背，写题先写这5个规则）：
（1）一个轮换分解为有一个公共客体的两个轮换乘积：在轮换的任意一个位置砍一刀
（2）两轮换有一个公共客体时，连接（背）
（3）用行矩阵描写轮换时，数字的排列次序不能改变，但可以顺序变换
（4）对换满足：
（5）没有公共客体的轮换，乘积次序可以交换

4.置换群的类

1） $R$ 的共轭元素: ${SRS}^{? 1}$

把 $R$ 置换的上下两行数字同时做 $S$ 置换即得 $R$ 置换的共轭元素 SRS $^{? 1}$ ，即
重要：
$R$ 置换的上下两行 $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] 1, 2, ?, n c 1, c 2, ?, c n)$ 同时作 $S$ 置换即得 $R$ 置换的共轭元素SRS $^{? 1}$ 。这里 $S$ 既可以写成 $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] 1, 2, ?, n d 1, d 2, ?, d n)$ 对 $R$ 置换的上面那行操作，也可写成 $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] c 1, c 2, ?, c n f 1, f 2, ?, f n)$ 对 $R$ 置换的下面那行操作。最终的结果是： $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] d 1, d 2, ?, d n f 1, f 2, ?, f n)$
证明：

用“求置换乘积SR的方法”来理解更好，不用北大群论讲义这个方法

注意s1,d1等字母其实代表的都是数字2，5，等等各种数字。

2）互相共轭的两置换有相同的轮换结构

说明：置换的轮换结构由n的一组配分数来描写：
，故这个性质说的是互相共轭的两置换分解为没有公共客体轮换的乘积的形式时，分解出来的配分数相同。
证明：因为置换可以写成没有公共客体轮换的乘积。故

3）有相同轮换结构的两置换必定互相共轭

证明：

用“求置换乘积SR的方法”来理解更好，不用北大群论讲义这个方法

4）具有相同轮换结构的置换构成置换群 $S_{n}$ 的一个类（背）

证明：

5）置换群的类由置换的轮换结构来描写，而置换的轮换结构由一组配分数来描写，故置换群的类数、不等价不可约表示的个数都等于整数n分解为不同配分数的数目（背）

一个置换群有几个类就看它有几个可能的轮换结构，看它有几个可能的轮换结构就是看它有几个可能的配分数，故置换群的类数等于整数n分解为不同配分数的数目。
根据第三章知道，有限群不等价不可约表示的个数等于类的个数，故置换群的不等价不可约表示的个数也等于整数n分解为不同配分数的数目。
例如 $S_{3}$ 群，这个置换群有3!=6个元素。这个群对应3个客体，n=3，其配分数：3=1+2=1+1+1=3，故其有3种配分数，故有3个类，即这6个元素分为三个类，这个群有3个不等价不可约表示。
$S_{4}$ 群有4！=24个元素。4个客体，

故有5个类，这个群有5个不等价不可约表示。

6）置换群的某个类中的元素数目公式

如果对某个置换群，告诉你某一个类的轮换结构，则它这个类中有几个元素？比如S4，有（2,12）这个轮换结构，则这个类有几个元素，下面有一个公式可以用来计算：
如果群 $S_{n}$ 的类含 $v_{1}$ 个 1 循环 $, v_{2}$ 个 2 循环 $, ?, v_{n}$ 个 $n$ 循环（含义是有 $v_{1}$ 个长度为1的轮换， $v_{2}$ 个长度为2的轮换，...）, 即它的轮换结构为，有条件：。则置换群的该类中的元素数目公式为：

注意：

一个类对应一个轮换结构；
一个元素（即一个置换）对应一个置换矩阵（或因为置换可以写成没有公共客体的轮换乘积的形式，故也可以说一个元素对应一个轮换乘积形式）；
轮换结构与轮换乘积形式的关系：
轮换结构是一个轮换乘积形式中各轮换长度的集合，比如上面的例子中集合就是{2，2}
若找一个类包含的元素数目就是要找一个”各轮换长度的集合“对应的轮换乘积形式的数目。故有以下证明：

故它们对应同一个置换，故：

得证。

5.交变子群

在轮换每一客体处切断，则轮换会分解为对换的乘积，如
一般地，长度为l的轮换可分解为不少于l?1个对换的乘积，即（以下右边就是 $l ? 1$ 个对换）

比如长度为3，至少可以分解为2个对换的乘积，之所以说最少是因为长度为3的轮换还可以分解为4个、6个对换的乘积。
将轮换分解为对换乘积时，这些对换有公共客体，并且分解方式也不唯一，例如

这是因为轮换中数字的顺序可以顺序变换，故有以上第一行的分解方式。
其他行的分解方式可以通过”两轮换有一个公共客体时乘积的计算方法“来直接证明（简单，5个规则，省略），也可以是利用了两个公式：
- 这两个公式来自北大群论讲义。我自己写一个证明：利用5个规则：
  例如

2）奇置换、偶置换

任何置换都可分解为若干个对换的乘积，分解方式虽不唯一，但它包含对换个数的奇偶性是确定的：长度为奇数的轮换可分解为偶数个对换的乘积，长度为偶数的轮换可分解为奇数个对换的乘积。

从前面的例子可以知道。老师没有说证明。

置换分解为对换乘积时，对换数目是偶数的置换称为偶置换，对换数目是奇数的置换称为奇置换。
长度为奇数的轮换是偶置换，长度为偶数的轮换是奇置换。（背，后面用，上面的两个不用背）
两个偶置换或两个奇置换的乘积是偶置换，一个偶置换和一个奇置换的乘积是奇置换；恒元是偶置换。（临时举例子推导）

3）交变子群

置换群中所有偶置换的集合构成指数为2的不变子群，称为交变子群，奇置换的集合是它的陪集，商群是C2群。

证明:先证明置换群中将所有偶置换挑出来会构成一个子群，因为只要判断它满足封闭性即可，任何两个偶置换相乘还是偶置换，恒元也有。

4）置换宇称

利用商群的不可约表示也是原群的不可约表示知道：根据 $C_{2}$ 群知道：
$n > 1$ 时, 除恒等表示外 $, S_{n}$ 至少还有一个一维非恒等表示，称为反对称表示，置换 $R$ 在该表示中的值称为它的置换宇称，记作 $δ (R) :$
（背）

6.置换群的生成元

相邻客体的对换记作： $P_{a} = (a a + 1)$ （背）
任何置换都可写成没有公共客体的轮换的乘积，任何轮换都可分解为若干对换的乘积
任何对换都可表示为相邻客体的对换乘积：

这些公式都可以通过前面“交变子群”一节的来证明。
上面公式的最后一行右边就是相邻客体的对换乘积，从最后一行往上回代一个一个公式，就知道：任何对换都可表示为相邻客体的对换乘积。得证。

故：任何置换都可表示为相邻客体的对换之乘积。

对n个客体置换群，引入长度为 $n$ 的轮换 $W = (12 ? n)$ （背）
则 $: P_{a} = W P_{a ? 1} W^{? 1} = W^{2} P_{a ? 2} W^{? 2} = ? = W^{a ? 1} P_{1} W^{? (a ? 1)}$
此即：任何相邻客体的对换 $P_{a}$ 都可由 $W$ 和 $P_{1}$ 生成。

证明:
综上，置换群的生成元是 $W$ 和 $P_{1}$ （背），置换群的秩为2.
有限群生成元的数目称为有限群的秩

7.Cayley定理：任何一个n阶有限群都与置换群Sn的一个子群同构

见群论第20节课1小时17分钟。没时间，算了。这段ppt颜色不同，不知道考不考

1.2节杨图、杨表和杨算符

1.杨图

1）一个配分数 $(λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})$ 标记置换群的一个不等价不可约表示（取名字而已，没有物理意义）

前面已经说过，置换群 $S_{n}$ 的类的个数等于 $n$ 分解为不同组配分数的数目，因为不等价不可约表示的个数等于类的个数，故置换群不等价不可约表示的个数也等于 $n$ 分解为不同组配分数的数目。一个类中的元素都对应相同的轮换结构（即相同的配分数）。
置换群 $S_{n}$ 的类由 $n$ 的配分数 $(λ) = (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})$ 描写, 不等价不可约表示也可以用配分数来描写（只是取名字而已，没有物理意义，类似之前给不等价不可约表示取名字为A1,B1等)，注意(背:)一个配分数 $(λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})$ 标记置换群的一个不等价不可约表示, 记作 $[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]$ , 其中
（配分数中的这些数从大到小排列）
（表明这些数是n的配分数）
不过，由相同配分数描写的类和不等价不可约表示并无任何关系，因为不等价不可约表示和配分数的对应只是取名字取出来的，而类和配分数的对应是真实对应的，某个配分数就对应某个类，不能取名字而将其对应到另一个类（原因见第一节的4.置换群的类中：
）

例：

2）杨图：对配分数 $[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]$ , 画 $m$ 行方格图，左边对齐，第一行含 $λ_{1}$ 格，第二行含 $λ_{2}$ 格，以此类推，这样的方格图称为配分数 $[λ]$ 对应的杨图，简称杨图 $[λ]$ （背）

例：

杨图中，上面行的格子数不少于下面行的格子数，左边列的格子数不少于右边列的格子数，为强调这一规则，称它为正则杨图

这是因为前面已经规定了配分数中这些数都是从大到小排列，故一定是上面行的格子数不少于下面行的格子数

我们不讨论不满足此规则的杨图，即我们所说的杨图都是指正则杨图。

每个杨图都唯一地对应于置换群 $S_{n}$ 的一个不等价不可约表示（背），不同杨图对应的不可约表示不等价

因为每个配分数对应一个杨图，而一个不等价不可约表示是用一个配分数来标记的。

杨图的大小：对两个杨图 $[λ] 和 [λ^{'}]$ ，从第一行开始逐行比较它们格子数的多少，第一次出现格子数不同时，格子数多的杨图大

例： $S_{3}$ 群的杨图从大到小排列为

例： $S_{4}$ 群的杨图从大到小排列为

对偶杨图：把杨图 [ $λ$ ] 的行和列互换得到的杨图 $[\tilde{λ}]$ 称为杨图 [ $λ$ ] 的对偶杨图（背），对偶杨图对应的不可约表示称为对偶表示

例： $S_{3}$ 群的杨图 [3] 和 $[1^{3}]$ 互为对偶杨图
$S_{4}$ 群的杨图 [4] 和 $[1^{4}]$ 以及 [3,1] 和 $[2, 1^{2}]$ 分别互为对偶杨图
若杨图行列互换后得到的是它自己（即 $[λ] = [\tilde{λ}]$ ），则它称为自偶杨图
例 $: S_{3}$ 群的杨图 [ 2,1 ] 为自偶杨图
$S_{4}$ 群的杨图 [ 2,2] 为自偶杨图

2.杨表

1）杨表：对于给定的杨图 $[λ]$ ，把 1 到 $n$ 的 $n$ 个自然数分别填入杨图的 $n$ 个格子中，就得到一个杨表（杨盘）（背）

2）正则杨表：从左到右是增加的，从上到下也是增加的（背）

$n$ 格的杨图有 $n!$ 个不同的杨表，但我们关心的是正则杨表，正则杨表的数目不是 $n!$ 个，而是更少：
如果在杨表的每一行中，左面的填数小于右面的填数，在每一列中，上面的填数小于下面的填数，则此杨表称为正则杨表。
即：从左到右是增加的，从上到下也是增加的，这种杨表称为正则杨表。
正则杨表的大小：同一杨图对应的正则杨表, 从第一行开始逐行从左到右一个一个比较它们的填数，第一次出现填数不同时，填数大的正则杨表大
例如，杨图 [3,2] 对应的全部正则杨表如下，它们从小到大排列为

注意是一个一个比，故最后两个正则杨表中第一行第二个是3，比前面的杨表更大。

3）维数定理: 置换群 $S_{n}$ 的不可约表示 $[λ]$ 的维数，等于杨图 $[λ]$ 对应的正则杨表的个数

老师说没时间证明，数学家证明了。

例：

钩形数规则

如果维数比较高，一个数一个数填很麻烦，但有钩形数规则：
杨图 $[λ]$ 对应的正则杨表的个数（即不可约表示的维数）由钩形数规则给出：

对杨图的第 $i$ 行第 $j$ 列格子，定义钩形数 $h_{i j}$ , 它等于一条钩形路径在杨图中经过的格子数，这条路径从杨图第 $i$ 行最右面的格子处进入杨图，向左走到第 $i$ 行第 $j$ 列格子处向下转弯，从第 $j$ 列最下面的格子处离开杨图
杨图 [ $λ$ ] 对应的正则杨表的个数，或者说杨图 [ $λ$ ] 对应的不可约表示的维数是：n的阶乘除以钩形数相乘（背）：

老师说没时间证明
钩形数杨表：将杨图 $[λ]$ 中每格的钩形数 $h_{i j}$ 填入该杨图（背），得到的杨表称为该杨图的钩形数杨表

根据不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：

3.杨算符

对给定的杨图 $[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]$ ,其第一行有 $λ_{1}$ 个格子等，一共有m行 $λ_{1}$ 列，其对偶杨图记为 $[\tilde{λ}] = [τ_{1}, τ_{2}, ?, τ_{λ_{1}}]$ ,其第一行有 $τ_{1}$ 个格子，第二行有 $τ_{2}$ 个格子等，对偶杨图一共有 $λ_{1}$ 行m列，即有 $τ_{1} = m$ 。
考虑杨图[λ]对应的某一正则杨表：

1）横向置换：保持杨表中同一行的数字只在这一行中变动的置换称为横向置换，记作 $p$ , 所有横向置换的集合记作 $R (λ)$

例：

如果有多行，杨表很复杂时，找横向置换:

第 $i$ 行 $λ_{i}$ 个数字间的 $λ_{i}!$ 个横向置换的集合构成 $S_{n}$ 群的子群 $P_{i}$
比如前面的例子中，第一行3个数字1，3，4之间的置换是S4群的子群。
$m$ 行的正则杨表共有 $m$ 个这样的子群，这些子群可以构成直乘群：这些子群的直乘构成 $S_{n}$ 群的 $λ_{1}! λ_{2}! \dots λ_{m}!$ 阶的子群，记为 $R (λ) = P_{1} ? P_{2} ? \dots ? P_{m}$
此直乘群中的任何一个元素都能保持杨表中同一行的数字只在这一行中变动，故都是横向置换，所有可能的横向置换构成的集合就是直乘群 $R (λ)$ （背）
此直乘群是 $S_{n}$ 群的子群。

直乘群：

这些子群直乘构成的群确实是直乘群，因为满足直乘群的三个条件：恒元为唯一公共元素；分属不同子群的元素可对易；任何一个元素可以写成子群两个元素乘积的形式。
此直积群有 $λ_{1}! λ_{2}! \dots λ_{m}!$ 个元素。

2）纵向置换

保持杨表中同一列的数字只在这一列中变动的置换称为纵向置换，记作 $q$ , 所有纵向置换的集合记作 $C (λ)$

杨图（注意不是对偶杨图）中第 $j$ 列 $τ_{j}$ 个数字间的 $τ_{j}!$ 个纵向置换的集合构成 $S_{n}$ 群的子群 $Q_{j}$
$λ_{1}$ 列的正则杨表共有 $λ_{1}$ 个这样的子群，它们的直乘构成 $S_{n}$ 群的 $τ_{1}! τ_{2}! \dots τ_{λ_{1}}!$ 阶的子群，记为 $C (λ) = Q_{1} ? Q_{2} ? \dots ? Q_{λ_{1}}$

3）横算符：所有横向置换之和称为给定杨表的横算符（背，后面的题）

就是将直乘群R(λ)中的所有元素加起来。
横算符不是 $S_{n}$ 中的一个元素，它是一些元素（置换）加起来，故它是置换群的群代数中的一个矢量。
其实横置换、纵置换也是群代数中的一个矢量。

4）纵算符：所有纵向置换乘以各自的置换宇称后相加，称为给定杨表的纵算符（背，后面的题）

置换宇称（背）：长度为奇数的置换是偶置换，长度为偶数的置换是奇置换，

给定杨表横（纵）算符的写法（背，重要）

本来是将杨表中每一行的横置换直乘，再将得到的所有可能的直乘加起来得到横算符，但其实也有另一种方法:
给定杨表横算符的写法：先把每一行的所有横向置换加起来，再把不同行的（横向置换之和）乘起来。（背，重要）
给定杨表纵算符的写法：先把每一列的所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来，再把不同列的纵向置换之代数和乘起来。（背，重要）
纵置换本来是每一列的纵置换直乘起来，再乘置换宇称，再求和。根据前面奇置换偶置换的知识可以证明在纵算符定义中的置换宇称其实是每一列的置换宇称之积。故以上纵算符的另一种写法“给定杨表纵算符的写法：先把每一列的所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来，再把不同列的（纵向置换之代数和）乘起来”成立。

5）杨算符：横算符乘以纵算符，称为给定杨表的杨算符（背，可以计算杨算符）

正则杨算符：正则杨表对应的杨算符称为正则杨算符，默认以后说的都是正则杨算符，以后省略正则两个字。

注意置换宇称是纵置换q的置换宇称，与横置换无关。

横向置换、纵向置换、横算符、纵算符、杨算符均为群代数中的矢量（背）

杨算符 $Y \neq 0$

证明：根据前面知道，横向置换的集合 $R (λ)$ 与纵向置换的集合 $C (λ)$ 只有一个公共元素恒元,

只有恒元能使得置换后，同一行还在同一行，同一列还在同一列

故杨算符 $Y$ 展开式中每一项 $p q$ 都是 $S_{n}$ 群的不同元素，因此杨算符中一共有 $R (λ) C (λ)$ 项加起来，这些项都不相同（且这些项都在群空间中的第一象限），ppt中直接说这些项是消不掉的，故杨算符 $Y \neq 0$ ，但我觉得这个证明有问题，因为还乘了置换宇称，会不会有这种情况：，所以还需要严格证明，没时间，算了。

证每一项 $p q$ 都是 $S_{n}$ 群的不同元素：设 $p, p^{'} \in R (λ), q, q^{'} \in C (λ)$ , 若 $p q = p^{'} q^{'}$ , 则 $p^{' ? 1} p = q^{'} q^{? 1}$ ，左边还是横置换，右边还是纵置换，故此式等于恒元,故有 $p^{'} = p, q^{'} = q$ ，每一项 $p q$ 都是 $S_{n}$ 群的不同元素。得证。

杨图 $Y$ 和杨表 $Y$

只有在杨图和杨表给定时，才能写出杨算符 $Y$ , 故通常把杨算符 $Y$ 对应的杨图和杨表，称为杨图 $Y$ 和杨表 $Y$ ; 若单独说 $Y$ , 则指杨算符本身

例

根据“给定杨表横（纵）算符的写法”可以写出：
例：S3群各不可约表示杨图对应的正则杨表的杨算符

注意记住有恒元。
注意此杨表对应的杨算符没有置换宇称，因为置换宇称是纵置换的置换宇称，而纵置换是恒元，是偶置换，置换宇称为1，纵置换省略。

根据杨算符、横算符的定义可以写出此行。
杨算符定义：横算符乘以纵算符，
横算符定义：所有横置换之和，注意本来长度为3的轮换有6种，将6种都写出来，然后去除重复的，就只有（123）、（132）两种。
本来根据杨算符定义还应乘纵算符，再求和，但是纵只有一格，所有纵置换只有一个，就是恒元，恒元长度为1，是奇数，故恒元是偶置换，置换宇称为1，“只有一格的行或列对应恒元，相乘时可略去”，故根据杨算符定义算杨算符时，乘的纵算符省略，就只是横算符相加。

杨算符定义：横算符乘以纵算符，
背：求杨算符的方法：三部曲：
（1）给定杨表横算符的写法：先把每一行的所有横向置换加起来，再把不同行的横向置换之和乘起来。
第一行所有横置换加起来：
第二行所有横置换是E，
不同行的横向置换之和乘起来等于：，这就是横算符。
（2）给定杨表纵算符的写法：先把每一列的所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来，再把不同列的纵向置换之代数和乘起来。
第一列所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来：（特别注意记住还有恒元，易错）
第二列所有纵置换是E，
不同列的纵向置换之代数和乘起来得到，这就是纵算符。
（3）根据杨算符定义：横算符乘以纵算符，即得杨算符。（特别注意记住必须横算符在前乘以纵算符，易错。因为两个有相邻客体的轮换乘积时，乘积次序不能调换。只有没用公共客体时，乘积次序可交换。）

来自为知笔记(Wiz)

本人的国科大群论课程笔记易懂

第四章 置换群

第章

1.1节 置换群的一般性质