「题解」USACO15FEB Fencing the Herd G

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题目

题目链接：洛谷 P3122、USACO 官网。

题意概述

给你平面上的一些点和直线，有两种操作：

• 新加入一个点 \((x,y)\)；
• 给定一条直线 \(ax+by=c\)，询问是否所有点都在这条直线的同侧（在直线上不合法）。

初始时有 \(n\leq 10^5\) 个点，共有 \(q\leq 10^5\) 次操作。

题解

对题意转化

我们考虑将 所有点都在直线的同一侧 这一条件进行转化。

具体地，我们先考虑一个简单的子问题。

简单子问题

问题是这样的，对于一条标准形式的直线 \(ax+by+c=0\)，在它同侧的点 \((x_p,y_p)\) 满足什么性质？

我们倒推并分类讨论：

• 若 \(ax_p+by_p+c=0\)，显然点 \((x_p,y_p)\) 在这条直线上；
• 若 \(ax_p+by_p+c<0\)，显然它与所有点 \(q\) 满足 \(ax_q+by_q+c<0\) 在直线的同侧；
• 若 \(ax_p+by_p+c>0\)，显然它与所有点 \(q\) 满足 \(ax_q+by_q+c>0\) 在直线的同侧；

因此我们发现，如果两个点在一条直线的同侧，则将两点坐标代入直线方程得到的结果同号。

---

解决了子问题，我们对题意进行转化，得到如下式子。

一条直线合法当且仅当

\[\forall p\in S,\operatorname{sgn}(ax_p+by_p-c)=\operatorname{sgn}(ax_q+by_q-c) \]

意思就是所有点对应的符号相同（暂时不考虑点在直线上）。

进一步地，一堆数同号说明它们的最大值与最小值同号。

问题转变成为，给定一条直线 \(ax+by-c=0\)，求

\[\max_{p\in S}\{ax_p+by_p-c\} \]

\[\min_{p\in S}\{ax_p+by_p-c\} \]

利用几何性质解决问题

先来求解最大值吧。

设直线为 \(ax+by-c=\texttt{max}\)。

先将直线转化为斜截式：

\[y=-\frac{a}{b}x+\frac{c+\texttt{sum}}{b} \]

我们发现：

• 若 \(b>0\)，我们只需要最大化该直线在 \(y\) 轴上的截距即可，维护一个上凸包，在上凸包上二分斜率求解即可；
• 若 \(b<0\)，我们则可以通过变号等方法修改成为 \(b>0\) 的情况；
• 若 \(b=0\)，我们发现此时的最大值必定在凸包的右端点取到，若用 \(\texttt{max}\) 值作为判据，则不受影响，无需考虑。

再来求解最小值，还是一样的步骤：

设直线为 \(ax+by-c=\texttt{min}\)。

先将直线转化为斜截式：

\[y=-\frac{a}{b}x+\frac{c+\texttt{min}}{b} \]

我们发现：

• 若 \(b>0\)，我们只需要最小化该直线在 \(y\) 轴上的截距即可，维护一个下凸包，在下凸包上二分斜率求解即可；
• 若 \(b<0\)，我们则可以通过变号等方法修改成为 \(b>0\) 的情况；
• 若 \(b=0\)，我们发现此时的最小值必定在凸包的右端点取到，若用 \(\texttt{min}\) 值作为判据，则不受影响，无需考虑。

分治方法优化转移

上述方法需要动态维护两个凸包，并且凸包的横坐标不具有单调性，这需要用 平衡树 来维护。

考虑到本题并不强制在线，我们考虑离线下来，利用 cdq 分治来维护凸包，时间复杂度为 \(\Theta(n\log^2n)\)（视作 \(n,q\) 同阶）。

具体地，我们考虑对点和直线的加入时间进行分治，假设当前要处理区间 \([l,r]\) 内的事件。我们就只要考虑 区间 \([l,\texttt{mid}]\) 内的点形成的凸包对 区间 \([\texttt{mid}+1,r]\) 内直线的贡献即可。

维护凸包所需时间复杂度为排序的 \(\Theta(n\log_2n)\)，结合主定理分析可知最终时间复杂度为 \(\Theta(n\log_2^2n)\)。

参考程序

更多细节参见参考程序。

#include
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){
	reg bool f=false;
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return f?-res:res;
}

inline ll readll(void){
	reg bool f=false;
	reg char ch=getchar();
	reg ll res=0;
	while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return f?-res:res;
}

inline void writeln(const char* s){
	while(*s) putchar(*(s++));
	putchar('\n');
	return;
}

inline ll max(reg ll a,reg ll b){
	return a>b?a:b;
}

inline ll min(reg ll a,reg ll b){
	return aru||lq>rq)
		return;
	reg int mid=(l+r)>>1;
	reg int midu,midq;
	if(up[lu].tim<=mid){
		reg int __l=lu,__r=ru,__mid;
		while(__l<__r){
			__mid=(__l+__r)>>1;
			if(up[__mid+1].tim<=mid)
				__l=__mid+1;
			else
				__r=__mid;
		}
		midu=__l;
	}
	else
		midu=lu-1;
	if(qu[lq].tim<=mid){
		reg int __l=lq,__r=rq,__mid;
		while(__l<__r){
			__mid=(__l+__r)>>1;
			if(qu[__mid+1].tim<=mid)
				__l=__mid+1;
			else
				__r=__mid;
		}
		midq=__l;
	}
	else
		midq=lq-1;
	solve(l,mid,lu,midu,lq,midq);
	if(lu<=midu&&midq+1<=rq){
		reg int tot=0;
		static Point tmp[MAXN+MAXQ];
		for(reg int i=lu;i<=midu;++i)
			tmp[++tot]=up[i].p;
		sort(tmp+1,tmp+tot+1);
		reg int top;
		static Point S[MAXN+MAXQ];
		top=0;
		for(reg int i=1;i<=tot;++i){
			while(top>1&&cross(S[top]-S[top-1],tmp[i]-S[top-1])>=0)
				--top;
			S[++top]=tmp[i];
		}
		for(reg int i=midq+1;i<=rq;++i){
			reg int __l=1,__r=top,__mid;
			while(__l<__r){
				__mid=(__l+__r)>>1;
				if(getVal(qu[i],S[__mid])1&&cross(S[top]-S[top-1],tmp[i]-S[top-1])<=0)
				--top;
			S[++top]=tmp[i];
		}
		for(reg int i=midq+1;i<=rq;++i){
			reg int __l=1,__r=top,__mid;
			while(__l<__r){
				__mid=(__l+__r)>>1;
				if(getVal(qu[i],S[__mid])>getVal(qu[i],S[__mid+1]))
					__l=__mid+1;
				else
					__r=__mid;
			}
			qu[i].Min=min(qu[i].Min,getVal(qu[i],S[__l]));
		}
	}
	solve(mid+1,r,midu+1,ru,midq+1,rq);
	return;
}

int main(void){
	n=read(),q=read();
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		++totu;
		up[totu].tim=0,up[totu].p.x=read(),up[totu].p.y=read();
	}
	for(reg int i=1;i<=q;++i){
		static int opt;
		opt=read();
		switch(opt){
			case 1:{
				++totu;
				up[totu].tim=i,up[totu].p.x=read(),up[totu].p.y=read();
				break;
			}
			case 2:{
				++totq;
				qu[totq].tim=i,qu[totq].A=read(),qu[totq].B=read(),qu[totq].C=readll(),qu[totq].Max=-inf,qu[totq].Min=inf;
				if(qu[totq].B<0)
					qu[totq].A=-qu[totq].A,qu[totq].B=-qu[totq].B,qu[totq].C=-qu[totq].C;
				else if((!qu[totq].B)&&qu[totq].A<0)
					qu[totq].A=-qu[totq].A,qu[totq].C=-qu[totq].C;
				break;
			}
		}
	}
	solve(0,q,1,totu,1,totq);
	for(reg int i=1;i<=totq;++i)
		writeln((!qu[i].Max||!qu[i].Min||((qu[i].Max^qu[i].Min)>>63))?"NO":"YES");
	flush();
	return 0;
}