【柯】代数学引论 第3章 §1.行列式：构造和基本性质

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\(Page.94\\1.\ \Delta (x,y,z)=\begin{vmatrix}y-x&&\\&z-x&\\&&y-z\end{vmatrix}\)?
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\(2.\ \Delta =\sum \varepsilon _{\sigma }a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}···a_{n\sigma (n)} \\\quad 1).a_{ij}^{'}=2^{i*j}a_{ij}\\\qquad \ \Delta ^{'}=\sum \varepsilon _{\sigma }a_{1\sigma (1)}^{'}a_{2\sigma (2)}^{'}···a_{n\sigma (n)}^{'}\\\qquad \quad \ =2^{\sum _{i=1}^{n}\ i-\sum _{i=1}^{n}\ \sigma (i)}\Delta =\Delta \\\quad 2).\Delta =\sum \varepsilon _{\sigma }a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}···a_{n\sigma (n)} \\\qquad \quad \ =\sum \varepsilon _{\sigma }\varepsilon _{\sigma ^{'}}a_{n\sigma (1)}a_{n-1\sigma (2)}···a_{1\sigma (n)}\\\qquad \ \sigma ^{'}(i)=\sigma (n-i+1)\quad \varepsilon _{\sigma ^{'}}=(-1)^{[n/2]}\\\qquad \ \Delta ^{'}=(-1)^{[n/2]}\Delta \\\quad 3).同2).作比较,\Delta ^{'}=\Delta ,过程略\)
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\(3.\ 作初等变换,\\\quad A=\begin{vmatrix}1&1&1&···&1&1\\0&1&0&···&0&0\\0&0&2&···&0&0\\···&···&···&···&···&···\\0&0&0&···&n-1&0\\0&0&0&···&0&n\end{vmatrix}=n!\)