平面几何基础知识简笔


向量内外积

  • 内积(点积,\(\bm{a\cdot b}\)):
    • \(=x_1x_2+y_1y_2\)
    • \(=|a||b|\cos\lang a,b\rang\)
    • 是标量
  • 外积(叉积,\(\bm{a\times b}\)):
    • \(=x_1y_2-x_2y_1\)
    • 模长 \(=|a||b|\sin\lang a,b\rang\)
    • 【几何意义】数值上 = 以 \(\bm{a,b}\) 为邻边的平行四边形的面积。
    • 是向量

正余弦定理

  • 正弦定理:在 \(\triangle ABC\) 中,\(R\) 为外接圆半径,

\[{a\over\sin A}={b\over\sin B}={c\over\sin C}=2R \]

  • 余弦定理:在 \(\triangle ABC\) 中,

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\\ \]

顺逆时针

\(\bm{a\times b}\) 的符号判断 \(\bm{b}\) 相对于 \(\bm{a}\) 在的方向:“顺负逆正”。

极角排序

bool operator<(P a,P b){return atan2(a.y,a.x)

多边形面积

求多边形 \(P_1P_2...P_n\) 的面积。(多边形可凹可凸)

以平面任一点为原点 \(O\)\(P_i\) 极角排序。
则多边形面积 \(S=\frac12(\bm{OP_1\times OP_2+OP_2\times OP_3+...+OP_{n-1}\times OP_n+OP_n\times OP_1}).\)

距离

  • 欧几里得距离 \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
    曼哈顿距离 \(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)
    切比雪夫距离 \(\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)\)
  • 曼哈顿转切比雪夫 \((x,y)\to(x+y,x-y)\)
    切比雪夫转曼哈顿 \((x,y)\to(\frac{x+y}2,\frac{x-y}2)\).

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