N. Tiao - H. Liao 定理

关于中二病对同学发现并一起证明的二级结论命名为定理这件事

内容

N. Tiao - H. Liao 定理??如果抛物线 \(y^{2}=2px (p>0)\) 上的两点 \(A\)、\(B\) 满足 \(OA\perp OB\)（\(O\) 为坐标原点），则直线 \(AB\) 过定点 \((2p,0)\) 。

证明

设 \(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(C(2p,0)\)
则 \(\overrightarrow{OA}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{OB}=(x_{2},y_{2})\)，\(\overrightarrow{OC}=(2p,0)\)
因为 \(A\)、\(B\) 在抛物线上，所以\(x_{1}=\cfrac{y_{1}^{2}}{2p}\)，\(x_{2}=\cfrac{y_{2}^{2}}{2p}\)
根据相似三角形可得 \(\dfrac{\lvert AC\rvert}{\lvert BC\rvert}=-\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\)
设 \(\lvert AC\rvert=\lambda\lvert BC\rvert\)，\(\lambda=-\dfrac{y_{1}}{y_{2}}\)
有

\[\begin{equation} \frac{1}{1+\lambda}\overrightarrow{OA}+\frac{\lambda}{1+\lambda}\overrightarrow{OB}=(\frac{x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{y_{2}-y_{1}},0)=(\frac{y_{1}y_{2}}{2p},0) \label{1} \end{equation}\]

由 \(OA\perp OB\) 得

\[x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=\frac{y_{1}^{2}y_{2}^{2}}{4p^{2}}+y_{1}y_{2}=0 \]

约去 \(y_{1}y_{2}\)

\[\begin{equation} y_{1}y_{2}=-4p^{2} \label{2} \end{equation}\]

将 \(\eqref{2}\) 代入 \(\eqref{1}\)

\[\frac{1}{1+\lambda}\overrightarrow{OA}+\frac{\lambda}{1+\lambda}\overrightarrow{OB}=(2p,0)=\overrightarrow{OC} \]

即 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点共线
证毕。

推广

通过类似方法可以证得：
对于任意圆锥曲线，过其顶点作两条互相垂直的直线，这两条直线与曲线所产生的两个交点所在的直线必过定点。