第二章 数列极限

1. 数列极限概念
定义1:
设 \(\left\{a_{n}\right\}\) 为数列, \(a\) 为定数。若对任给的正数, 总存在正整数 \(N\), 使 得当 \(\mathrm{n}>\mathrm{N}\) 时, 有 \(\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon\), 则称数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 收玫于 \(\mathrm{a}\), 定数 \(\mathrm{a}\) 称为数 列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的极限, 并记作 \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a\), 或 \(a_{n} \rightarrow \mathrm{a}(n \rightarrow \infty)\)
2. 收敛数列的性质
定理2.2:（唯一性）
若数列收敛，则它只有一个极限
定理2.3:（有界性）
若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M。使得对一切正整数n，都有
定理2.4:（保号性）

定理2.5:（保不等式性）
设 \(\left\{a_{n}\right\}\) 与 \(\left\{b_{n}\right\}\) 均为收敛数列。若存在正数 \(N_{0}\), 使得当 \(\mathrm{n}>\mathrm{N}_{0}\) 时, 有 \(a_{n} \leq\) \(\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\), 则 \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\) 。
定理2.6:（迫敛性）
设收敛数列 \(\left\{a_{n}\right\}, \quad\left\{b_{n}\right\}\) 都以 \(\mathrm{a}\) 为极限, 数列 \(\left\{c_{n}\right\}\) 满足: 存在正数 \(N_{0}\), 当 \(\mathrm{n}>\mathrm{N}_{0}\) 时, 有 \(a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}\), 则数列 \(\left\{c_{n}\right\}\) 收玫, 且 \(\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\mathrm{a}\) 。
定理2.7:（四则运算法则）

\[\begin{array}{l} \left\{a_{n}\right\} \text { 与 }\left\{b_{n}\right\} \text { 为收敛数列, 则 }\left\{b_{n}+a_{n}\right\},\left\{a_{n}-b_{n}\right\},\left\{a_{n} \cdot b_{n}\right\} \\ \text { 也都是收敛数列, 且有 } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}, \\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_{n} \cdot a_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \circ \text { 特别地, 当 } b_{n} \\ \text { 为常数 } c \text { 时, 有 } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+c\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+c \text {; } \lim _{n \rightarrow \infty} c a_{n}=\operatorname{clim}_{n \rightarrow \infty} a_{n} \circ \\ \text { 若再假设 } b_{n} \neq 0, \text { 及 } \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0, \text { 则 }\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\} \text { 也是收敛数列, 且有 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}= \\ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} / \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \end{array} \]

定理2.8:
数列收敛的充要条件是：的任何子列都收敛
3. 数列极限存在的条件

\[\begin{array}{l} \text { 定理 2.9: (单调有界定理) } \\ \text { 在实数系中, 有界的单调数列必有极限 } \\ \text { 定理 2.10: (致密性定理) } \\ \text { 任何有界数列必定有收玫的子列 } \\ \text { 定理 2.11（柯西（Cauchy）收敛准则） } \\ \text { 数列 }\left\{a_{n}\right\} \text { 收敛的充要条件是: 对任给的 } \varepsilon>0, \text { 存在正整数 } N, \text { 使得当 } \\ n, m>N \text { 时, 有 }\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon_{\circ} \end{array} \]

4. 例题
设 \(a_{1}>b_{1}>0\), 记

\[a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_{n}=\frac{2 a_{n-1} b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}}, n=2,3, \cdots . \]

证明:数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 与 \(\left\{b_{n}\right\}\) 的极限都存在且等于 \(\sqrt{a_{1} b_{1}}\).
证 因为 \(a_{1}>b_{1}>0\), 所以利用归纳法不难得到 \(a_{n}>0, b_{n}>0, n \in \mathbf{N}_{+}\). 于是有

\[a_{1}>b_{1}, \]

\[a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}-\frac{2 a_{n-1} b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}}+b_{n}=\frac{\left(a_{n-1}-b_{n-1}\right)^{2}}{2\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)}+b_{n} \geqslant b_{n}, \quad n=2,3, \cdots, \]

从而对 \(n=1,2, \cdots\), 有

\[\begin{array}{c} a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \leqslant \frac{a_{n-1}+a_{n-1}}{2}=a_{n-1}, \quad n=1,2, \cdots, \\ b_{n}-b_{n-1}=\frac{2 a_{n-1} b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}}-b_{n-1}=\frac{b_{n-1}\left(a_{n-1}-b_{n-1}\right)}{a_{n-1}+b_{n-1}} \geqslant 0, \quad n=1,2, \cdots, \end{array} \]

以及

\[a_{1} \geqslant a_{n} \geqslant b_{n} \geqslant b_{1} . \]

以上说明数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 递减有下界而数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) 递增有上界. 由单调有界定理知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 与 \(\left\{b_{n}\right\}\) 都收敛.
设 \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a\) 及 \(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b\). 对 \(a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\) 两边分别取极限得 \(a=\frac{a+b}{2}\), 此 即 \(a=b\). 又由

\[a_{n} b_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \cdot \frac{2 a_{n-1} b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}}=a_{n-1} b_{n-1}, \quad n=2,3, \cdots, \]

得到 \(a_{n} b_{n}=a_{n-1} b_{n-1}=\cdots=a_{1} b_{1}\). 对 \(a_{n} b_{n}=a_{1} b_{1}\) 两边取极限有 \(a b=a_{1} b_{1}\). 因此, \(a=\) \(b=\sqrt{a_{1} b_{1}} .\)