高中数学趣题解析

一.
求解方程 \(\sqrt{4-x} = 4 - x^2\)
来源：B站
解法：逆求根公式

解：平方得 \(4-x = 4^2 - 8x^2 + x^4\)
移项得 \(4^2 - 4 + x - 8x^2 + x^4 = 0\)
即 \(4^2 - 4 \times (2x^2 + 1) + x^4 + x = 0\)
将 \(4\) 看作一个一元二次方程的解，可得
\(4 = \frac{(2x^2 +1) \pm (2x - 1)}{2}\)
得方程组

解方程得 \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}\)
由于原方程有意义，所以 \(-2 \leq x \leq 2\)
所以 \(x = \frac {\sqrt{17} - 1}{2}\)

二.
如图，四边形 \(ABCD\) 内接于圆，其边 \(AB\) 和 \(DC\) 延长线交于点 \(P\) ， \(AD\) 和 \(BC\) 延长线交于点 \(Q\) ，过 \(Q\) 做圆的两条切线交于 \(E\) 和 \(F\)
求证： \(P,E,F\) 三点共线
来源：B站、CMO1997
解法：啊吧啊吧啊吧啊吧啊吧

解：连接 \(EF , PM\) 交 \(AD,BC\) 于 \(M,N\) ，设 \(AC,BD\) 交于点 \(K\)
原证明转化为证明 \(PM , AC , BD\) 三线共点
由塞瓦定理逆定理可知，只需证明 \(\frac{AB}{BP} \times \frac{PC}{CD} \times \frac{DM}{AM} = 1\)
以 \(\triangle ADP\) 和点 \(Q\) 用梅涅劳斯定理得 \(\frac{AB}{BP} \times \frac{PC}{CD} \times \frac{DQ}{AQ} = 1\)
所以即为证明 \(\frac{DQ}{AQ} = \frac{DM}{AM}\)
连接 \(OA,OD,LA,LD,OE\)
对 \(QE,QA\) 用切割线定理得 \(QE^2 = QA \times QD\)
对 \(\triangle OQE\) 用射影定理得 \(QE ^2 = QL \times QO\)
上两式联立可得 \(A,D,L,O\) 四点共圆
于是 \(∠OLA = ∠ODA = ∠OAD = ∠QLD\)
所以 \(LQ\) 为 \(\triangle ALD\) 的外角角平分线
由角平分线定理得 \(\frac{QD}{QA} = \frac{LD}{LA}\)
因为 \(EL \perp OQ\) ， 所以 \(FL\) 平分 \(∠ALD\)
由角平分线定理得 \(\frac{DM}{AM} = \frac{LD}{LA}\)
所以 \(\frac{DQ}{AQ} = \frac{DM}{AM}\)
所以得证