LGP6667题解
既然看到了这道“板子”，那还是来写一下题解吧。。。
如果有机会希望能推一下 载谈binominial sum 的做法。
\[\sum_{k=0}^nf(k)\binom n kx^k(1-x)^{n-k} \]看到组合数和多项式求值就去想下降幂吧，因为没什么别的好办法了。。。
设下降幂多项式 \(g(x)=f(x)\)。
\[\sum_{i=0}^m g_i\sum_{k=0}^n\binom n k k^{\underline i} x^k(1-x)^{n-k} \]自从联合省选 2020 之后全世界都知道了 \(\binom n m m^{\underline k}=\binom {n-k} {m-k} n^{\underline k}\)。
\[\sum_{i=0}^mg_i\sum_{k=i}^n\binom {n-i} {k-i} n^{\underline i}x^k(1-x)^{n-k} \]\[\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline i} x^i\sum_{k=0}^{n-i}\binom {n-i} kx^k(1-x)^{n-i-k} \]后面根据二项式定理得到是 \(1\)。
\[\sum_{i=0}^m g_i n^{\underline i} x^i \]然后把点值乘上 \(e^{-x}\) 就是下降幂多项式了。
#include
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#define IMP(lim,anw) for(i=0;i^(lim);++i)anw
typedef unsigned ui;
const ui M=1e5+5,mod=998244353;
ui buf[M<<2];ui *now=buf,*w[23];
ui n,m,x,f[M],g[M];
inline void swap(ui&a,ui&b){
ui c=a;a=b;b=c;
}
inline ui Add(const ui&a,const ui&b){
return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
inline ui Del(const ui&a,const ui&b){
return b>a?a-b+mod:a-b;
}
inline void px(ui*f,ui*g,const ui&len){
for(ui i=0;i^len;++i)f[i]=1ull*f[i]*g[i]%mod;
}
inline ui pow(ui a,ui b=mod-2){
ui ans=1;
for(;b;b>>=1,a=1ull*a*a%mod)if(b&1)ans=1ull*ans*a%mod;
return ans;
}
inline void NTT_init(const ui&m){
ui i,j,n,lim(0);while((1<>1)/n);
for(i=2;i<(1<=1;--j){
w[j]=now;now+=1<>1,d=M-1;len^0;len>>=1,--d){
W=w[d];
for(k=0;k^n;k+=len<<1){
fl=f+(k);fr=f+(k|len);
IMP(len,(x=fl[i],y=fr[i])),fl[i]=Add(x,y),fr[i]=1ull*Del(x,y)*W[i]%mod;
}
}
}
inline void IDFT(ui*f,const ui&n,const ui&M){
ui i,k,d,x,y,*W,*fl,*fr,len;
for(len=1,d=1;len^n;len<<=1,++d){
W=w[d];
for(k=0;k^n;k+=len<<1){
fl=f+(k);fr=f+(k|len);
IMP(len,(x=fl[i],y=1ull*fr[i]*W[i]%mod)),fl[i]=Add(x,y),fr[i]=Del(x,y);
}
}
k=pow(n);IMP(n,f[i]=1ull*f[i]*k%mod);
for(i=1;(i<<1)=1;--i)g[i]=g[i+1]*(i+1ull)%mod;
for(i=0;i