微积分的直观感知

在3b1b的系列视频微积分的本质中，提到了两个可以想到微积分的情况。一个是一个问题可以通过把一个整体分割成许多细小的碎片来求解，另一个是问题可以通过把题设中的无限情况改变成有限情况来改写。首先要意识到，后一种情况实际上就是前一种情况的特例，也就是说，有限化的本质是细小化。而细小化的真正目的是为了线性化，如果无法进行线性化，那么细小化将毫无价值。所以，表述实际上应该是这样的：当问题看起来可以进行线性化时，尝试使用线性化的办法来解决。一般这需要一些前提，比如说线性化或有限化，而后者是前者的特殊情况。

看看求导的过程，这实际上就是在进行线性化。从数学表达式的角度来看，更高阶的无穷小被抛弃，正意味着线性化，从图像的角度来看，取切线，则将这一意图表现得更加明显。再看看泰勒展开式，是对函数做了更加细致的线性化。

所以我想说，对于微积分的直观感知，就应该是线性化。从这一点，我们也能一窥为什么大学中的两门数学课分别叫做微积分和线性代数了。实际上这就是非线性代数和线性代数。