二项分布期望方差证明

二项分布期望方差证明

\(W_hK\)选手啥都不会了。记录一下。

若\(X\)~\(B(n,p)\)，有\(E(X)=np,D(X)=np(1-p)\)。

期望

\(E(X)=np\)。直接代入化简，很简单，书上也给出了证明。

方差

还是太菜了。还是非常暴力的展开，拆成两部分即可。

\[\begin{aligned} &D(X)=E(X^2)-E^2(X)\\ &=\sum\limits_{k=0}^nk^2{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}-(np)^2\\ &=\sum\limits_{k=0}^n knp{n-1\choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}-(np)^2\\ &=np(\sum\limits_{k=1}^{n}(k-1){n-1\choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}+\sum\limits_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k})-(np)^2\\ &=np(\sum\limits_{k=0}^{n-1}k{n-1\choose k}p^k(1-p)^{n-1-k}+\sum\limits_{k=1}^n{n-1\choose k-1}(1-p)^{n-k}p^{k-1})-(np)^2\\ &=np(E'+1)-(np)^2\\ &=np((n-1)p+1)-(np)^2\\ &=np(1-p) \end{aligned} \]

所以华子哥不讲证明是为啥子尼？