递推式的求通项公式待定系数法

递推式的求通项公式待定系数法

貌似数学必修讲过一部分,然后对一些套路进行整理

斐波那契通项公式

先看一个普通的递推式

\(a_n=k\times a_{n-1}+b\)

我们有两个基本的数列,等比数列,等差数列

\(a_n=a_1+(n-1)\times d\)

\(a_n=r^{n-1}a_1\)

当\(k=0,\)原数列是常数列

当\(k=1,\)原数列是等差数列

\(k>1\)不是很好处理,转化成等差显然不可能,那么就考虑能不能处理成等比数列的形式

然后就是对原数列构造新数列

\(A_n=(a_n-ka_{n-1})\)的形式,使其满足等比数列形式

然后就能推出\(A_n\)的通项公式,进而得到\(a_n\)的通项公式(话说今天问了全机房都解释不通...)

设斐波那契通项公式

\(a_n-\lambda a_{n-1}=\mu(a_{n-1}-\lambda a_{n-2})\)

\(\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\text{}\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\)

那么全部带回

\(\left\{\begin{matrix} a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1)---------1.\\ a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1)---------2. \end{matrix}\right.\)

考虑上下相消

\(2.\times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]\)

也算是明白了为什么能这么构造了