浅谈曲线系在高考数学中的应用
引入
所谓曲线系，就是具有某种共同性质的曲线的集合。
一个常见的例子便是，要求与直线 \(3x-4y+5=0\) 平行且过一定点的直线时，我们通常会设所求直线方程为 \(3x-4y+C=0\) ，其中 \(C\) 为不等于 \(5\) 的常数，这个方程是所有满足性质“与直线 \(3x-4y+5=0\) 平行”的直线的方程，也就是直线系方程。
直线系也出现在人教版高中数学必修二 3.3 直线的交点坐标与距离公式 的“思考”中，原文如下：
当 \(\lambda\) 变化时，方程 \(3x+4y-2+\lambda(2x+y+2)=0\) 表示什么图形？图形有何特点？
高考数学中，圆锥曲线常常凭借意想不到的构造和冗杂的计算成为许多考生的噩梦。许多问题的解决依赖于交点坐标。通常我们可以使用设而不求的思想来处理这类问题，但仍然难免遇到一些计算量很大的题（例如 2021 年江苏泰州高三上期期末 16 题）。为了简化运算，这时候便可以使用曲线系进行求解。
书写曲线系方程
方法
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过 \(f_{1}(x,y)=0\)、\(f_{2}(x,y)=0\) 交点的曲线系方程为 \(f_{1}(x,y)+\lambda f_{2}(x,y)=0\) （注意：不包含 \(f_{2}(x,y)=0\)！！）
证明：因为交点 \((x_{0},y_{0})\) 满足 \(f_{1}(x_{0},y_{0})=0\) 且 \(f_{2}(x_{0},y_{0})=0\) ，所以 \(f_{1}(x_{0},y_{0})+\lambda f_{2}(x_{0},y_{0})=0\)
曲线系方程也可以设为 \(\lambda_{1} f_{1}(x,y)+\lambda_{2} f_{2}(x,y)=0\) ，此时方程就包含了\(f_{2}(x,y)=0\) ，避免犯错，但会多一个参数。
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\(f_{1}(x,y)=0\) 与 \(f_{2}(x,y)=0\) 的并集曲线方程为 \(f_{1}(x,y)\cdot f_{2}(x,y)=0\)
证明：取曲线 \(f_{1}(x,y)=0\) 和 \(f_{2}(x,y)=0\) 上任意一点 \((x_{0},y_{0})\) ，均有 \(f_{1}(x_{0},y_{0})=0\) 或 \(f_{2}(x_{0},y_{0})=0\) ，因此 \(f_{1}(x_{0},y_{0})\cdot f_{2}(x_{0},y_{0})=0\)
运用上述两个方法可以书写出任意一个曲线系方程。
实例
下面是一道教材上的课后习题。
求经过点 \(M(2,-2)\) ，以及圆 \(x^{2}+y^{2}-6x=0\) 与 \(x^{2}+y^{2}=4\) 交点的圆的方程
解：设所求圆的方程为 \(x^{2}+y^{2}-6x+\lambda(x^{2}+y^{2}-4)=0\)
? 带入 \(M(2,-2)\) 解得 \(\lambda=1\)
? 则该圆的方程为 \(x^{2}+y^{2}-3x-4=0\)
曲线系在解题中的应用
曲线系通常可以用来解定值定点的问题。此类问题会不可避免地求曲线方程或目标式的含参表达式，利用曲线系则可以达到回避求交点，从而简化计算的目的。
例如2017年全国一卷的20题：
第一问略，C的方程为 \(\dfrac{x^2}{4}+y^{2}=1\)
直线 \(l\) 的斜率显然存在
设 \(P_{2}A: k_{1}x-y+1=0\)，\(P_{2}B: k_{2}x-y+1=0\)，\(AB:Ax+By+C=0\)
可以写出直线 \(l\) 所在曲线系的方程：
\[\begin{equation} \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}-1+\lambda(k_{1}x-y+1)(k_{2}x-y+1)=0 \tag{1} \end{equation} \]因为直线 \(AB\) 和 切点为 \(P_{2}\) 的椭圆 \(C\) 的切线过点 \(A\)、\(B\)、\(P_{2}\)
所以必然存在一个 \(\lambda_{0}\) ，使得 \(\lambda=\lambda_{0}\) 时，\((1)\) 式化为
\[\begin{equation} (y-1)(Ax+By+C)=0 \tag{2} \end{equation} \]对比系数可得 \(\lambda k_{1}k_{2}+\dfrac{1}{4}=0\)
代入 \((1)\) 式：
\[\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}-1-\dfrac{1}{4k_{1}k_{2}}(k_{1}x-y+1)(k_{2}x-y+1)=0 \]化简并约去因式 \(y-1=0\) ：
\[(y+1)-\dfrac{1}{4k_{1}k_{2}}[x-(y-1)]=0 \tag{3} \]此即直线 \(AB\) 的方程
当 \(x=2\)，\(y=-1\) 时，\((3)\) 式恒为 \(0\)
即直线 \(AB\) 过定点 \((2,-1)\)
此外，还有前文提到的2021 江苏泰州期末 16 题也是可以通过类似的方法做的，读者可以自己尝试解答。
曲线系虽好，但慎用，考场上可能不会给分，读者们更应该掌握的是联消判韦的解题方法。