考研数学中的有理化

在考研数学中，对于根号的处理其实一般只有一种方法，那就是有理化。只有在一些稀少的情况中，尤其是根号次数不为二的时候，会使用泰勒定理进行处理。如果对于根号一定要进行有理化，那么题目本身的一部分的内容就可以被程序化的完成了。然而在实际解题的过程中，会出现一些比较复杂的情况。比如说对于非分式，将其看作为分母为1的分式进行分子有理化。或者同时对分子和分母进行有理化。或许我们不禁要问，我们在有理化的时候，究竟做了一些什么，这可以为我们的解题提供一个导向。如果说遇到根号一定要有理化，那么在有理化之后表达式中明明也仍然是存在根号的。在有理化的过程中，表达式中的什么发生了变化？

实际上不难想到，基于平方差公式使用共轭式对于含有根号的表达式进行的恒等变换，主要目的在于将表达式中某一部分中的减法改变为加法。将情景放在求极限的题目中，能够更加体会到此间的含义。如果是加法，一般易于处理，可如果是减法，因为这将会抵消彼此之间的一些较为低阶的无穷小，题目的最终求解将变得困难。

理解了有理化这样的价值，我们便可以将之添加到我们的工具箱里。即使并不是在分式中，如果我们观察到有一个难以处理的减法，便可以去尝试通过有理化的方法去处理。

可是，如果有理化的价值不在于本身对于根号的影响而是在于对表达式整体形态的影响，我们就应该想到，根号本身的出现就代表着一种导向。它会减小你自由决策的空间，提供一些比较固定的工具，这实际上是一个福利。