• 5 数学基础
  • 5.1 数学系统
  • 5.2 带等词的一阶系统
    • 规范模型
    • 存在唯一量词，摹状词
    • 等词附录
  • 5.3 群论
• 勘误集
  • ml-5_1.pdf

5 数学基础

5.1 数学系统

0. Q: 一阶系统和模型分别和数学领域有什么关系？
   A: 一阶系统不涉及具体语义（数学领域）。适当选择扩充方法，再选择特定模型作为解释，能够表达某数学领域的许多数学定理、逻辑定理。

5.2 带等词的一阶系统

0. Q: 等词公理中为什么没有对称性和传递性？
   A: 显然可以通过课件中的E7和E9推出。
   例如：\(\vdash x=y\to(x=x\to y=x)\)是E9（简化了写法）的实例。
1. Q: 如何理解“等词公理中可有自由变元出现”“可写成全称闭式”？
   A: 原始定义可以有自由变元出现。但根据公式和全称闭式逻辑等价，其实也可以写全称闭式，不影响公理的使用结果。
2. Q: E7是公理模式吗？E8和E9呢？这样一来，E7够用吗？
   \(A_1^2(x_1,x_1)\)可以先变闭式再做约束变元换名，再去除\(\forall \x_i\). 所以E7只是一条公理却相当于了“自反性”的无数条公理。
   E8, E9是公理模式
   两个星号ppt
3. Q: 等词的解释一定是等号吗？为什么？
   A: 提示：满足等价关系的各种性质（可以替换，自反……等等）不一定是等价关系。
4. Q: 接上，如果等词解释不是等号，我们人为取（）的集合作为论域，这之中等价关系确实就是等词的解释。
   注意需要说明新的论域中能构造出良定义的原一阶系统的模型\(M^*\).
   即两个要点：\(\hat A_i^n([y_1],\cdots)=\bar A_i^n(y_1,\cdots)\)这类式子在（）于（）范围内变化时，左侧不会变化。以及（）在新模型\(M^*\)为真。
   A: 等词解释对应的等价关系对应的等价类
   \(y_i\)，\([y_i]\)（注：可以看到当然需要等词相关的公理），原一阶系统一切公理（注：反证显然）

规范模型

0. Q: 由于带等词的一阶系统有基数为（）的模型，再根据（）的等价类为（）得到（）。
   A: 可数，可数集，可数集，带等词的一阶系统有基数为可数集的模型
   （注：可数包含有限）
   5.13
1. Q: 带等词一阶逻辑的可靠性定理相比之前的可靠性定理需要额外考察（）。
   而完全性定理证明中，如何理解L?wenheim-Skolem定理在此的使用？这是循环论证吗？
   A: 等词公理
   先利用不带等词（之前证明过的）的L?wenheim-Skolem定理找到可数模型，进一步变成可数的规范模型。从而“一致扩充有可数模型”变成了“一致扩充有可数规范模型”，从而利用和之前类似的做法证明。

存在唯一量词，摹状词

0. Q: 为什么“唯一”“至多一个”和“等词”有关？
   A: 任意满足某性质的都和……相等。
   注：这样一来，一个\(\forall !\)量词对应两个\(\forall\)量词。且需要多引入一个约束变元\(x_j\)
1. Q: 定摹状词\(\iota xA(x)\)不存在是什么意思？
   A: \(\iota xA(x)\)不存在意为并不是存在唯一\(x\)使得\(A(x)\)成立。
2. Q: 形式记号\((\iota) B(\iota xA(x))\)中，\(\iota xA(x)\)的辖域是什么？
   A: 注意：形式记号而已。不要因为我们以前往往习惯对\(\forall x, \exists x, \iota x\)这种考察辖域而感到不习惯！
   是\(B(\iota xA(x))\).
   理解：根据形式记号\((\iota)\)的定义，写出\(\exists y(\forall x(A(x)\leftrightarrow x=y)\wedge B(y))\)，\(x\)在其中约束。
   更显式的，\(C((\iota) B(\iota xA(x),y), x)\)这种表达式中显然可以看到辖域\(B(\iota xA(x),y)\).
3. Q: 根据定义证明\(E!\iota xA(x)\to \exists !xA(x)\)
   A:
   前者定义\(\exists y\exists z(z =y \wedge \forall x(A(x)\leftrightarrow x=z))\)
   后者定义\(\exists x(A(x)\wedge \forall y(A(y)\to x=y))\)
   我们只需证明\(\forall x \sim(A(x)\wedge \forall y(A(y)\to x=y))\to \forall y\forall z \sim (z =y \wedge \forall x(A(x)\leftrightarrow x=z))\)
   根据K6，只需证明\(\forall y\forall z(\cdots)\)
   进一步根据Gen只需证明\((\cdots)\)，根据K3只需证明
   \(z=y\wedge \forall x (A(x)\leftrightarrow x=z)\to \exists x(A(x)\wedge \forall y(A(y)\to x=y))\)
   根据存在量词引入规则只需证明
   \(\forall x(A(x)\leftrightarrow x=z)\to (A(z)\wedge \forall y (A(y) \to z=y))\)，这显然
   另一侧略

等词附录

函项符的消去，纯谓词演算，等词的消去

5.3 群论

0. Q: 群论新引入几个函项符，几条公理？
   A: 如果不计算单位元（常元），则引入了逆和积两个函项符。
   公理：结合、（左）单位元、（左）逆元。
   注：“运算封闭”是一阶系统本来就有的性质，不需要额外说。
1. Q: \(e(ee)=e\)形式化为什么，证明的要点是什么？
   A: \(f_1^2(a_1,f_1^2(a_1,a_1))=a_1\)
   利用K5得到左侧等于\(f_1^2(a_1,a_1)\)，再利用一次K5和等价关系的传递性。
2. Q: 如何理解“群系统存在不是群的模型”？
   A: 任意群都可以是群系统的模型。
   但是类似于考察“规范模型”时，这里的“=”也可能不解释为真正的“=”，而是其他的等价关系（如同余），从而有些模型不是群（当然，在这些不规范的模型基础上可进一步构造规范模型）
   更深入理解：严格定义群恰恰是通过规范模型定义的，从这个角度“群系统存在不是群的模型”只是一个人为定义。
   附
   完全性定理 计算系统……

勘误集

ml-5_1.pdf

• p5 注在下面被挡住了