选择题

1. 极限计算

泰勒公式打开即可

难度: ?

2. 函数连续

求f'(x)在x = 0左右两侧的极限即可

难度: ?

3. 偏导数计算

换元化简微分方程

难度: ?

4. 路径无关

未知区域是否单连通，所以不能通过判断\(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} = \frac{\partial{P}}{\partial{y}}\)判断

难度: ??

5. 非齐次线性方程组有解

• 系数矩阵行满秩则方程组一定有解，列满秩若有解则是唯一解。
  • 可能无解
• 若非齐次方程组有唯一解，则齐次方程组只有零解，即系数矩阵列满秩

难度: ?

6. 特征多项式

已知\(\lambda_1= -3 \ \lambda_2 = 2\)

讨论:

• A = -3E或者A=2E;则 |A+2E| = -1或64
• r(A+3E) = 1且 r(A-2E) = 2,即 -3是二重，2是一重特征值，则|A+2E|=4
• r(A+3E) = 2且 r(A-2E) = 1,即 -3是一重，2是二重特征值，则|A+2E|=-16

难度: ??

7. 二次型限定条件下最大值

[https://www.bilibili.com/read/cv13538150?spm_id_from=333.999.0.0]

结论：\(\lambda{min}(\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2)\le x^TAx\le\lambda_{max}(\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2)\)

证明：

正交变换\(x =Qy\).

则\(x^Tx = (Qy)T(Qy)=y^TQ^TQy=y^Ty\)

所以\(x^TAx在x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\)条件下的最值，就是\(y^T\Lambda y在y_1^2+y_2^2+y_3^2=1\)下的最值

难度: ????

8.二位混合随机变量

常规计算

难度: ?

9. 二维正态分布数字特征

方差运算性质

难度: ?

10. 样本标准差

\(D(S) = E(S^2) + {E(S)}^2>0\)

难度: ?

填空题

11.两空间直线的夹角公式

圆锥面S在交点P(x,y,z)处的切线向量 \(l = (x'(t),y'(t),z'(t)) = (x-y,x+y,z)\);

\(\overrightarrow{OP} = \vec{v} = (x,y,z)\)

\(cos(l,v) = \frac{\vec l·\vec v}{|l|·|v|} = \frac{2}{\sqrt6}\)

难度: ???

12. 高阶导数

• cos|x|级数展开，\(f(x) = 2[-\sum_{n=1}^∞\frac{(-1)^n|x|^{n-2}}{(2n)!}] = \sum_{n=1}^∞\frac{(-1)^{n+1}2x^{2n-2}}{(2n)!}\)
• 计算\([x^2f(x)]^{(n)} = 2(1-cosx)^{(n)}\)

难度: ???

13.微分方程

注意x=0

难度: ?

14. 二重积分交换次序

简单计算

难度: ?

15. 计算\(\alpha^TA\alpha\)

• r(A) = 1 ==>A的各列为成比例的向量；
• \(r(A|\alpha) = r(A)==》Ax=\alpha有解\) ==>A的三个列向量均可由α表示；
• A是实对称矩阵
• 则必有\(A =(\lambda\alpha,-\lambda\alpha,0)\)的形式
• \(|A-E|=3，则有-(2\lambda+1)=3 ==>\lambda=-2\)
• 则计算\(\alpha^TA\alpha\)

难度: ????

16. 置信区间

卡方分布可加性，构造t分布

难度: ???

大题

17. 中值定理算极限

拉格朗日

难度: ?

18. 微分方程反解参数

特解 \(y = 3+(x+1)^2e^x = 3e^0 + e^x+x(x+2)e^x\\e^0和e^x是通解\)

难度: ??

19. 级数是收敛域和求和

arctanx的级数展开

难度: ??

20. 补面高斯

求旋转曲面，绕谁转，谁不变。

难度:?

21. 解方程

简单题

难度: ?

22. 最值函数的分布及数字特征

常规计算

难度: ?