背包问题
①01背包问题
题目：
有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。
第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0
0
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
原始代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
优化代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m];
return 0;
}
②完全背包问题
题目：
有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0
0
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
原始代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
优化代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = v[i]; j <= m; j++)
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m];
return 0;
}
③多重背包问题
题目：
有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包。
第 ii 种物品最多有 sisi 件，每件体积是 vivi，价值是 wiwi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 NN 行，每行三个整数 vi,wi,sivi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0
0
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
原始代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= m; j++)
{
for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}
优化代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 25000, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while (k <= s)
{
cnt++;
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
s -= k;
k *= 2;
}
if(s > 0)
{
cnt++;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m];
return 0;
}
分组背包问题
题目：
有 NN 组物品和一个容量是 VV 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vijvij，价值是 wijwij，其中 ii 是组号，jj 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数 N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 NN 组数据：
- 每组数据第一行有一个整数 SiSi，表示第 ii 个物品组的物品数量；
- 每组数据接下来有 SiSi 行，每行有两个整数 vij,wijvij,wij，用空格隔开，分别表示第 ii 个物品组的第 jj 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0
0
0
输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8
代码
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> s[i];
for (int j = 0; j < s[i]; j++)
{
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= 0; j--)
{
for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
{
if (v[i][k] <= j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
}
}
}
cout << f[m];
return 0;
}