函数的概念与特性

函数本身的概念大部分是符合直觉的，因此不必多言。需要注意的唯一一点是，每一个自变量对应多个因变量时，这个实体不是函数。对此我们可以想象，凭什么反过来就可以？当然，实际上，“反过来”是具有实际意义的，自变量因变量身份互换，就构造出了反函数。那么自然不是所有的函数都有反函数了。联系到坐标轴的实际意义，我们还可以判断出原反函数是关于y=x对称的。而把多个函数连续作用，就构造出了复合函数，这依旧是符合直觉的。

函数的特性，可以说成是有界性，单调性，奇偶性，周期性。不过在这之前，所谓“函数的特性”，到底指的是什么？我们知道，一个函数由对应关系和定义域决定。如果对一个函数取其对应关系和定义域的子集，这也是一个函数。再回来看看函数的特性这个词，就会发现，其所指的东西肯定都是针对于函数的某个区间而言的。比如有界性，指的就是函数在某个区间上是否有界。由于有界无界的表述符合直觉，这里同样不必多言。某个其导数有界的区域内，其函数也有界。这也是符合直觉的。单调性同理。

对于奇偶性，要发现其实这只是对称性的一种特例。奇函数具有对于原点的对称性，偶函数具有对于x=0的对称性。想象把一个奇函数随意左右移动几个单位，当它不再是奇函数了，它相对于“一般的函数”仍然保持着一种特殊性，这也就是对称的所蕴含之处。

函数与新的函数，新的函数的特性

由已有的函数获得新的函数，有如下几种方法，函数间四则运算，函数复合，由直接函数求反函数，以及由函数求其导函数和由函数求其原函数。其中，由函数求其原函数是特别的，因为若存在，函数的原函数是无限个的。我们下面想要谈论由函数获得新的函数时，这些新的函数的特性与旧函数是否有什么关联。

四则运算

加法与减法

奇函数加奇函数为奇函数，偶函数为偶函数，周期函数加上一个最小正周期相等的函数为周期函数，这些都是很符合直觉的。

同时，奇函数加奇函数也可以是偶函数，偶函数加偶函数也可以是奇函数，这是因为存在着y=0的这个特殊的常函数。如果不计入此函数，那么还有奇偶函数相加为非奇非偶函数。

对于周期函数，两个最小正周期不同的周期函数相加减，新的函数为周期函数，其最小正周期为两个旧函数的最小正周期的最小公倍数。然而，并不是所有的周期函数都有最小正周期。

乘法与除法

对于周期函数，实际上四则运算对于其的作用都是一样的，所以没有必要再提及。对于奇偶函数，我们需要一些表达式来进行更好的描述。

\[对于F(x) = \prod_{i=1}^{n}f_i (x)，\\ 设a_i = \frac{f(x)}{f(-x)}= \begin{cases} 1,f(x)是偶函数\\ -1,f(x)是奇函数 \end{cases} ，\\ 则F(x) = \prod_{i=1}^{n}a_i \]

由此，我们便能够很好地理解再通过乘法产生新的函数时，新的函数会具有怎样的特性。把式子中的乘法换成除法，效果是一样的。

复合函数

这里仅仅讨论两层函数复合的情况。首先，根据定义，很容易确定如果内层函数是偶函数，那么整个复合函数是偶函数。对于奇函数，我们应该想到，对于任何一个形如\(f(x)\)的函数，都可以将之看成是\(f(x)\)与\(g(x) = x\)的复合函数。

当内层函数为奇函数时，奇偶性与外层函数相同。

当然，即使内层函数与外层函数都是非奇非偶，整个复合函数依旧可能具有奇偶性。这样的情况只能通过定义去验证。

反函数

对称和周期在直接函数和反函数之间的关系则更加简单。偶函数和周期函数都是没有反函数的，而奇函数的反函数则一定是奇函数，这可以被很简单地证明。

导函数与原函数

只要把导数看作切线的斜率，就很容易明白，奇/偶函数的导数是偶/奇函数。可是，虽然奇函数的原函数全部是偶函数，偶函数的导数中只有一个是奇函数。依然回到对称的视角，就很容易能够理解这种结论的不对称，那只是因为点对称对于两个用以的对称实体在y轴方向的等距离平移无法接受，而轴对称可以。

函数的周期性，这个也很符合直觉。不过，像上面所说的，可以联想到，周期性对于符合周期的实体其导数在y轴方向上的平移无法接受，所以虽然周期函数的导数一定是周期函数，可是周期函数的原函数中只有一个是周期函数。