求解逆序对

什么是逆序对

逆序对就是如果\(i>j\&\& a[i] ，这两个数就是一个逆序对。其实换句话说，找到排在自己前面比自己大的数的个数。

给定一个\(n\)个数的序列，求解序列中逆序对的个数\(n \leq 5 \times 10^5，a[i]\leq 10^9\)。
输入样例
6
5 4 2 6 3 1
输出样例
11

求解逆序对

方法一：暴力求解

使用两个循环去跑。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e6 + 10;

int n, arr[MAXN];
ll res;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> arr[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j < i; j++){
            if(arr[j] > arr[i]) res++;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

方法二：对并排序解法

首先我们要知道什么是归并排序。（如果你知道可以点）然后，我们可以这样思考：如果我们将一个序列排成从小到大的有序序列，那么我们每次划分合并后的左右序列都是从小到大的有序序列，我们只需要记录右区间每个数分别会与左区间产生多少逆序对即可。

如果不理解的话，我们可以看个例子：

首先，我们对输入数组一直对半拆分，直到区间内只有一个元素的时候，一个元素肯定是有序数组，然后我们在依次合并两个有序数组，计算逆序对的个数就发生在合并的过程中，一直重复整个过程，直到整个数组有序。（整个过程大致如下）

相信大家也都看懂了（迷之自信^ _ ^）

由于归并排序没有什么坑，正常的执行并统计即可，注意答案可能会爆\(int\)，所以我们需要使用\(long\quad long\)来存储。时间复杂度和普通的归并排序一样\(O(Nlog_2N)\)。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e6 + 10;

int n, a[MAXN], b[MAXN];
ll res;

void msort(int l, int r){//归并排序
	if(l == r) return ;
	int mid = l + (r - l) / 2;//这里是二分的一个坑，如果l，r两个数很大，可能导致l+r出错。
	int i = l, j = mid + 1, k = l;
	msort(l,mid);
	msort(mid+1,r);
	while(i <= mid && j <= r){
		if(a[i] <= a[j]) b[k++] = a[i++];
		else{
			b[k++] = a[j++];
			res += mid - i + 1; //记录答案
		} 
	}
	while(i <= mid){
		b[k++] = a[i++];
	} 
	while(j <= r){
		b[k++] = a[j++];
	}
	for(int t = l; t <= r; t++){
		a[t] = b[t];
	} 
}

int main(){
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
	}
	msort(1,n);
	cout << res << endl;
	return 0;
}

方法三：树状数组求解

首先，我们要思考一个问题，我们要怎样记录第\(i\)个数与\(1\dots i-1\)个数构成的逆序对呢？

我们都知道，初始化的树状数组全为\(0\)，现在我们按照序列从左到右将数值对应的位置加一，表示有一个数出现。因此，在循环到第\(i\)个数的时候，前\(i-1\)个数也已经加入树状数组中，树状数组内比\(a_i\)大的都会与\(a_i\)构成逆序对，因为它们肯定会比\(a_i\)出现的早，所以产生的逆序对数量为\(i-getsum(a_i)\)。
注意：\(getsum(a_i)\)是在树状数组中询问\(1\dots a_i\)项的前缀和。
接下来，我们来思考新的问题，如果\(a_i\)的数值过大，树状数组的内存空间不够怎么办？

我们先来看一个例题：

我们都知道1000 5 6这三个数的逆序对是2

同样的3 1 2这三个数的逆序对也是2

所以说，上面的两个序列是等价的，因为无论3还是1000，都大于第二项和第三项，因此我们知道，我们只需要数据之间的相对大小，只需要满足大于或小于本身，与大多少无关。

这就启发我们对数据进行。先将数据进行排序，再用\(1\)到\(n\)分别对应\(n\)个数表示它们的相对大小，对新的序列建树状数组空间就够了。
下面，我们思考最后一个问题，相等的元素是否会导致求解错误？

不处理话会出现错误，问题的关键在于是否有和\(a_i\)相等的元素在\(a_i\)之前被加入且相对大小标记更大。出现这种情况就会误将两个相等的元素判为逆序对。那么我们要怎样解决呢？其实我们只要将所有与\(a_i\)相等的元素，先出现的标记更小就可以了。

同时再次注意答案可能会爆\(int\)，所以我们需要使用\(long\quad long\)来存储。\(O(Nlog_2N)\)。

由于我们不仅要排序，还要建树状数组，所以，树状数组相对归并排序会慢一些。但是当数值域小的时候树状数组会更快，两者均有有点，我们都需掌握。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define _for(i, a, b) for (int i=(a); i<=(b); i++)
const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 1e6 + 10;

int n, b[MAXN];
struct node{
	int val, id;
	bool operator < (const node & rhs) const{
		return (this->val < rhs.val) || (this->val == rhs.val && this->id < rhs.id);//从小到大排序，数值相同id小的在前 解决第三个问题
	}
}arr[MAXN];

inline int lowbit(int x){
	return (x & -x);
}

void add(int x, int d){
	while(x <= n){
		b[x] += d;
		x += lowbit(x);
	}
}

ll sum(int x){
	ll res = 0;
	while(x > 0){
		res += b[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

int main(){
	ll res = 0;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> arr[i].val;
		arr[i].id = i;
	}
	sort(arr+1,arr+1+n);//离散化数值，解决第二个问题
	for(int  i = 1; i <= n; i++){
		add(arr[i].id,1);//离散化结果—— 下标等效于数值
		res += (i - sum(arr[i].id));//计算逆序对
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

经典题

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什么是逆序对