题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1\le T\le 1000$）和 $M$（$1\le M\le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1 复制

70 3
71 100
69 1
1 2

输出 #1 复制

3

说明/提示

对于 $30\%$ 的数据，$M\le 10$；
对于全部的数据，$M\le 100$。
$NOIP2005$ 普及组 第三题

思路

首先，这是一道背包问题，其实就是动态规划。

我们用$f_{i,j}$表示可以采前面$i$种药，用$j$个时间单位能够采到药的最大价值。

一道01背包问题,01背包，就是一种物品只能有取和不取两种，当我们来到$f_{i,j}$时，可以采一次第$i$药也就是$f_{i,j?t_i}$，就是要留出$t_i$来采这个药(肯定要使$j\ge t_i$才可以采)，当然也可以不采，那么就是$f_{i?1,j}$就是这个第$i$种药不采，采前面$i?1$中药的最大价值。

所以转移公式就是

$$\left\{\begin{array}{c}{f}_{i,j}=f_{i?1,j},j<t_i\\ f_{i,j}=\max (f_{i?1,j},f_{i?1,j?t_i}+v_i)\end{array}\right\}$$

这样就可以写出AC代码

代码#1

#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m;
int t[101],v[101];
int f[101][1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			if(j-t[i]>=0)//可以采
			    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t[i]]+v[i]);
			else f[i][j]=f[i-1][j];//时间不够
		}
	}
	printf("%d",f[n][m]);
	return 0;
}

然后，我们发现，每一次只需要用到上面一层的$f$，所以，我们可以用滚动数组，就开两个维度，这样不断滚动求出答案。

代码#2

#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m;
int t[101],v[101];
int f[2][1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int i1=i%2,i2=i1^1;//i1是这一层的,i2是上一层的,^1可以让0变成1,让1变成0
		for(int j=0;j<=m;j++){
			if(j-t[i]>=0)
			    f[i1][j]=max(f[i2][j],f[i2][j-t[i]]+v[i]);
			else f[i1][j]=f[i2][j];
		}
	}
	printf("%d",f[n%2][m]);//输出
	return 0;
}

最后，能不能用一个维度来实现呢，为了让到了这个点，这个点的前面也就是$f_{i?1,j?t_i}$还没有更新，那么只要从后往前循环，前面的都是上一层的，而后面的都是已经更新过的

代码#3

#include
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m;
int t[101],v[101];
int f[1001];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=t[i];j--){//因为前面装不下的就是上一层的,这里滚动就是保存上一层的,所以就是它本身不用动
			f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+v[i]);
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

谢谢–zhengjun