梯度与方向导数

方向导数定义。函数沿着某个方向的导数\(\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t} .\)其中的\(\alpha\)和\(\beta\)代表该方向的方向角，即该方向与\(x\)轴和\(y\)轴的夹角。

计算方法：先求出对\(x\)方向的偏导数\(f_x\)，再求对\(y\)的偏导数\(f_y\). 现在要计算\((a,b)\)方向的方向导数，只需要将\((a,b)\)先归一化成\((a_0,b_0)\)，总体的方向导数就变成了\(a_0f_x+b_0f_y\)。这个计算方式和定义其实是等价的，不过更好理解和计算。
梯度定义。对于一个函数\(f(x,y)\)，其梯度为\(f_x\vec{i}+f_y\vec{j}\).
梯度是函数增加最大的方向(方向导数最大的方向)。现在相当于是求解这样的一个优化问题:\(\begin{cases} a_0f_x+b_0f_y\\ s.t. {a_0}^2+{b_0}^2=1\\ \end{cases}\). 而\(a_0f_x+b_0f_y\)可以看成是单位向量\((a_0,b_0)\)和向量\((f_x,f_y)\)的内积，所以当\((a_0,b_0)\)取梯度方向时取得最大值，而\(a_0f_x+b_0f_y\)代表函数变化量\(f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) >0\)，所以是函数增加最大的方向。另外，我们还能看到，当\((f_x,f_y)\)与\((a_0,b_0)\)的内积为零的时候，也就是两个向量相互正交的时候，函数值不发生改变。