LGP3726口胡

确实牛逼。。。。。。这个转化我反正肯定想不到。。。

考虑 \(a=b\) 的情况。发现出了平局之外都是一半赢一半输。可以得到此时的答案为：

\[\frac{2^{a+b}-\sum_{i=0}^{a}\binom{a}{i}^2}{2} \]

后面是范德蒙德卷积，可以得到答案是 \(\frac{2^{a+b}-\binom{2a}{a}}{2}\)。

接下来考虑 \(a\neq b\)。前面的情况相当于是考虑将一个赢的方案和输的方案配对，所以我们考虑这个问题的时候也考虑将赢的方案和输的方案配对。

设能够配对的方案数为 \(q\)，不能够配对的方案数为 \(p\)，容易发现不能够配对的方案数一定是小 A 能够胜利的方案数。

答案就是 \(p+\frac{q}{2}\)。

只要能够计算出其中一个就可以了。考虑计算不能配对的方案数。

设 \(x\) 为小 A 的方案中硬币朝上的次数，\(y\) 为小 B 的方案中硬币朝上的次数。

如果一个方案不能配对必定满足 \(x>y\) 和 \(a-x>b-y\)，即 \(a-b>x-y\)。于是我们可以枚举这个 \(x-y\)：

\[\sum_{i=0}^{b}\sum_{j=1}^{a-b}\binom{b}{i}\binom{a}{i+j} \]

\[\sum_{j=1}^{a-b}\sum_{i=0}^{b}\binom{b}{b-i}\binom{a}{i+j} \]

\[\sum_{j=1}^{a-b}\binom{a+b}{b+j} \]

\[\sum_{i=1}^{a-b}\binom{a+b}{b+i} \]

使用 exLucas 计算即可。

需要注意的是最后要除以一个 \(2\)，把模数乘上二，最后直接除以一个 \(2\) 即可。