克鲁斯卡尔算法
应用场景-公交站问题
看一个应用场景和问题：
- 某城市新增 7 个站点 (A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示 ( 权 ) ，比如 A – B 距离 12 公里
- 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短 ?
克鲁斯卡尔算法介绍
- 克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法 。
- 基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
- 具体做法 ：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
克鲁斯卡尔算法图解说明
以城市公交站问题来图解说明 克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边
边
第2步：将边
上一步操作之后，边
第3步：将边
上一步操作之后，边
第4步：将边
上一步操作之后，边
第5步：将边
上一步操作之后，边
第6步：将边
上一步操作之后，边
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路-举例说明(如图)
在将
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明：
就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
因此，接下来，虽然
public class KruskalCase {
private int edgeNum; //边的个数
private char[] vertexs; //顶点数组
private int[][] matrix; //邻接矩阵
//使用 INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
//大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
//创建KruskalCase 对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
//输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal();
}
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
// TODO Auto-generated constructor stub
//初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
//初始化顶点, 复制拷贝的方式
this.vertexs = new char[vlen];
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for(int i = 0; i < vlen; i++) {
for(int j= 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边的条数
for(int i =0; i < vlen; i++) {
for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
if(this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
private void kruskal() {
// TODO Auto-generated method stub
int index=0;//表示最后结果数组的索引
int ends[]=new int[edgeNum];//用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
Edata[] result=new Edata[edgeNum];
//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
Edata[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
Arrays.sort(edges);
//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
for(int i=0;i [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
result[index++]=edges[i];//有一条边加入到rets数组
}
}
// 。
//统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
System.out.println("最小生成树为");
for(int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i]);
}
}
/**
* 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
* @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
//* @param i : 表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
*/
private int getEnd(int[] ends, int p1) {// i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
// TODO Auto-generated method stub
while(ends[p1]!=0) {
p1=ends[p1];
}
return p1;
}
/**
*
* @param ch 顶点的值，比如'A','B'
* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if(vertexs[i] == ch) {//找到
return i;
}
}
//找不到,返回-1
return -1;
}
/**
* 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
* 是通过matrix 邻接矩阵来获取
* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
* @return
*/
private Edata[] getEdges() {
// TODO Auto-generated method stub
int index = 0;
Edata[] edges = new Edata[edgeNum];
for(int i=0;i{
char start;//边的一个点
char end;//边的另外一个点
int weight;//边的权值
public Edata(char start, char end, int weight) {
super();
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "Edate [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
}
@Override
public int compareTo(Edata o) {
// TODO Auto-generated method stub
return this.weight-o.weight;
}
}