「题解」CF1468M Similar Sets

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题目

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题意简述

给定 \(n\) 个集合 \(S_{1\sim n}\)，问是否存在 \(i,j\) 满足 \(i\neq j\) 且 \(\left\lvert S_i\cap S_j\right\rvert\geq 2\)。

若存在，输出 \(i,j\)（任意一对都可）；否则输出 \(-1\)。

\(n\leq 10^5\)，\(\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert S_i\right\rvert\leq 2\times 10^5\)。

题解

图论转化

直接思考有点难，考虑经典套路，我们把这个问题转化成二分图模型。

对于一个集合 \(S_i\)，我们将其构造为一个左部点 \(i\)。

对于一个元素 \(x\)，我们将其构造为一个右部点 \(x\)。

如果 \(x\in S_i\)，那么图上有一条边 \((i,x)\)。

那么 \(\left\lvert S_i\cap S_j\right\rvert\geq 2\)，就对应有至少两个右部点连到了同样的两个点。

换句话说，符合条件的答案对应了图中的一个四元环。

并且，这张图的度数总和为 \(\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert S_i\right\rvert\)。

按点的度数分治

现在我们要解决的问题就是一个二分图内是否存在四元环。

这同样是一个简单的问题，具体地，我们考虑按点的度数分治：

• 找到一个非负整数 \(B\)；
• 称度数 \(\geq B\) 的为大点，度数 \(< B\) 的为小点；
• 对于大点，其个数为 \(\Theta\left(\frac{\sum\texttt{deg}}{B}\right)\)。

我们对于每个大左部点，标记其所有相连点，如果存在另一个左部点，其连接的标记点个数 \(\geq 2\)，那么存在一个四元环。

我们对于每个小左部点，我们枚举其对应的所有的右部点对，然后对于每一个点对，我们枚举其最小值，然后标记其对应点，如果一个点在之前被标记过，那么就存在一个四元环。

根据上面的分析，我们得出算法的时间复杂度为 \(\Theta\left(\frac{\sum\texttt{deg}}{B}\sum\texttt{deg}+B\sum\texttt{deg}\right)\)。

理论分析可以得出，最优的时间复杂度为 \(\Theta\left(\sum\texttt{deg}\sqrt{\sum\texttt{deg}}\right)\)。

参考程序

#include
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

inline void write(reg int x){
	static char buf[32];
	reg int p=-1;
	if(x<0) x=-x,putchar('-');
	if(!x) putchar('0');
	else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
	while(~p) putchar(buf[p--]);
	return;
}

const int MAXN=1e5+5;
const int MAXS=2e5+5;

struct Event{
	int x,y,id;
	inline Event(reg int x=0,reg int y=0,reg int id=0):x(x),y(y),id(id){
		return;
	}
};

struct Link{
	int val,id;
	inline Link(reg int val=0,reg int id=0):val(val),id(id){
		return;
	}
};

int n;

inline pair solve(void){
	n=read();
	reg int sum=0;
	vector> S(n+1);
	vector V;
	for(reg int i=1;i<=n;++i){
		reg int k=read();
		sum+=k;
		S[i].resize(k);
		for(reg int j=0;j Big,Sma;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(S[i].size()>=B)
			Big.push_back(i);
		else
			Sma.push_back(i);
	vector vis(m);
	vis.resize(m);
	for(reg int i=0,siz=Big.size();i=2)
					return make_pair(u,v);
			}
		}
		for(int x:S[u])
			vis[x]=false;
	}
	vector E;
	for(reg int i=0,siz=Sma.size();i> G;
	G.resize(m);
	for(Event e:E)
		if(e.x from;
	from.resize(m);
	for(reg int i=0;i ans;
		ans=solve();
		if(ans.first==-1)
			write(-1),putchar('\n');
		else
			write(ans.first),putchar(' '),write(ans.second),putchar('\n');
	}
	flush();
	return 0;
}