「题解」POI2005 AKC-Special Forces Manoeuvres
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题目
题目链接：洛谷 P3428、官网。
题意简述
给定 \(n\) 个圆 \((x_i,y_i,r_i)\)，每个圆对应一个点集 \(S_i=\left\{(x,y)\mid (x-x_i)^2+(y-y_i)^2\leq r_i^2\right\}\)。
求一个最小的 \(i\) 满足 \(\cap_{j=1}^i S_j=\varnothing\)；如果无解输出 NIE。
题解
简单又自然的随机化
我们考虑枚举 \(i\)，然后判定 \(S_{1\sim i}\) 的交集是否为空。
如何判定呢？我们想到一个简单的方法，我们随机一些在圆的边界上的点，只需要判定这些点是否存至少在一个点在所有圆内即可。
这种方法简单又自然，但是随机化算法正确率不高，这远远不够。
研究几何性质
如果做计算几何题而抛弃几何性质，所得到的做法往往是劣解。
继续沿着上面的思路，我们同样考虑枚举 \(i\)，然后判定 \(S_{1\sim i}\) 的交集是否为空。
不同的是，我们定义一个交集中横坐标最大的点为代表点（代表点只会有一个，这是因为圆是凸集，凸集的交集还是凸集）。
我们发现，如果一些圆的交集非空，那么其代表点一定满足：它是所有圆两两交集的代表中横坐标最小的那个。
证明十分显然，考虑交集的意义即可。
最后的结论
综上所述，对于一个 \(i\)，我们只需要求出 \(1\sim i-1\) 与 \(i\) 的代表点即可，如果所有代表点中横坐标最小的那一个在所有的圆内，那么其合法，否则不合法，换言之，答案为 \(i\)。
我们考虑证明这个结论：
- 若没有交集，则这个点必然不合法，符合我们的预期；
- 若有交集，则我们需要证明这个点是交集的代表点。
- 假设其不是交集的代表点，则交集的代表点可能在其左右；
- 左边：不可能，若交集存在，则代表点的横坐标 \(\geq\) 当前点横坐标。
- 右边：不可能，考虑当前点在 \(S_a\cap S_b\) 中得到，那么所有 \(x\geq\) 当前点横坐标的点均被交集抛弃，因此代表点的横坐标 \(\leq\) 当前点横坐标。
- 由夹逼过程可知结论正确。
这个算法的时间复杂度为 \(\Theta(n^2)\)。
参考程序
下面我们来解决两圆求交的问题。
下面介绍一下两种方法：余弦定理和相似三角形。
余弦定理
用余弦定理求解需要用到三角函数，常数大，精度差。
我们考虑下图：
对 \(\triangle{ACB}\) 运用余弦定理，得到 \(r_a^2+d^2-2dr_a\cos\alpha=r_b^2\)，进而求出 \(\alpha=\arccos\left(\frac{r_a^2+d^2-r_b2}{2dr_a}\right)\)。
然后我们再求出基准角 \(\beta\)，显然 \(\beta=\texttt{atan2}(y_b-y_a,x_b-x_a)\)。
因此，我们得到了 \(C,D\) 两点的对 \(A\) 的极角为 \(\beta+\alpha\)，\(\beta-\alpha\)。
对于极角为 \(\theta\)，极径为 \(r_a\) 的点，我们得出其对应点的坐标为 \((r_a\cos\theta,r_a\sin\theta)\)。
#include
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
const double eps=1e-6;
inline int sgn(reg double x){
if(fabs(x)=0;
}
inline Point getRig(void)const{
return o+Vector(r,0);
}
};
inline bool isCon(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(sqr(a.r-b.r)-getDis2(a.o,b.o))>=0;
}
inline bool isSep(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(getDis2(a.o,b.o)-sqr(a.r+b.r))>0;
}
inline Point getPot(const Circle &a,const Circle &b){
if(isCon(a,b))
if(sgn(b.getRig().x-a.getRig().x)>0)
return a.getRig();
else
return b.getRig();
else if(isSep(a,b))
return Point(nan(""),nan(""));
else{
if(a.contain(b.getRig()))
return b.getRig();
else if(b.contain(a.getRig()))
return a.getRig();
else{
reg double d=getDis(a.o,b.o);
reg double ang=acos(((sqr(a.r)+sqr(d))-sqr(b.r))/(2*a.r*d));
reg double delta=atan2(b.o.y-a.o.y,b.o.x-a.o.x);
reg double ang1=delta+ang,ang2=delta-ang;
Point p1=a.o+Vector(cos(ang1)*a.r,sin(ang1)*a.r);
Point p2=a.o+Vector(cos(ang2)*a.r,sin(ang2)*a.r);
Point res;
if(sgn(p2.x-p1.x)>0)
res=p2;
else
res=p1;
return res;
}
}
}
int n;
Circle a[MAXN];
int main(void){
scanf("%d",&n);
Point lef(0,0);
for(reg int i=1;i<=n;++i){
static int x,y,r;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&r);
a[i].o=Point(x,y),a[i].r=r;
if(i==2)
lef=getPot(a[1],a[2]);
else if(i>2){
for(reg int j=1;j 相似三角形
如上图，我们设 \(a=|AG|\)，\(b=|BG|\)，\(h=|CG|\)。
那么我们有：
\[\begin{cases}r_a^2=a^2+h^2\\r_b^2=b^2+h^2\\a+b=d\end{cases} \]那么我们有：
\[a=\frac{r_a^2+d^2-r_b^2}{2d} \]然后考虑 \(\triangle AIB\sim\triangle CHG\)，我们有：
\[(y_b-y_a)h=d(y_c-y_g) \]我们可由此解出坐标，其他同理可算出。
#include
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
const double eps=1e-6;
inline int sgn(reg double x){
if(fabs(x)=0;
}
inline Point getRig(void)const{
return o+Vector(r,0);
}
};
inline bool isCon(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(sqr(a.r-b.r)-getDis2(a.o,b.o))>=0;
}
inline bool isSep(const Circle& a,const Circle& b){
return sgn(getDis2(a.o,b.o)-sqr(a.r+b.r))>0;
}
inline Point getPot(const Circle &a,const Circle &b){
if(isCon(a,b))
if(sgn(b.getRig().x-a.getRig().x)>0)
return a.getRig();
else
return b.getRig();
else if(isSep(a,b))
return Point(nan(""),nan(""));
else{
if(a.contain(b.getRig()))
return b.getRig();
else if(b.contain(a.getRig()))
return a.getRig();
else{
reg double d=getDis(a.o,b.o);
reg double val=(sqr(a.r)+sqr(d)-sqr(b.r))/(2*d);
reg double h=sqrt(sqr(a.r)-sqr(val));
Point bas=a.o+(b.o-a.o)*(val/d);
Vector tmp=Vector(b.o.y-a.o.y,a.o.x-b.o.x)*(h/d);
Point p1=bas-tmp,p2=bas+tmp;
if(sgn(p2.x-p1.x)>0)
return p2;
else
return p1;
}
}
}
int n;
Circle a[MAXN];
int main(void){
scanf("%d",&n);
Point lef(0,0);
for(reg int i=1;i<=n;++i){
static int x,y,r;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&r);
a[i].o=Point(x,y),a[i].r=r;
if(i==2)
lef=getPot(a[1],a[2]);
else if(i>2){
for(reg int j=1;j