CF696B Puzzles 题解

期望 DP

Statement

给定一棵树，给定一棵 \(n\) 个节点的树，对它进行 DFS，每次 DFS 随机排列当前节点的所有儿子，求每个点的期望 DFS 序

\(1\le n\le 10^5\)

Solution

感觉这道题没有某谷标的 省选 难度，老恶意评分了

自己做出来了，写篇题解纪念一下

容易发现一个点的期望 DFS 序可以部分继承它的父亲

所以我们只需要考虑它的兄弟节点排列导致的变化，只有在它前面被遍历到的才会有影响

也就是说，我们先把当前点 \(u\) 扣掉，研究从其他兄弟子树中选择一个集合放在前面的总的 $siz $ 和

（可能描述得有点蠢）

爆算显然很蠢，但是 wtcl，去考虑了一下怎样利用 \(\sum siz\le n\) 这样的性质来加速

发现其实就是这样一个问题：给定 \(cnt\) 个数，每一个数可以选/不选，问所有情况下 \(siz\) 总和

即选对应放在 \(u\) 前面遍历，不选则放在 \(u\) 后面

问题突然很简单（也许本来就很简单），容易发现总和就是 \(\sum 2^{cnt-1}siz_i\) （考虑 \(i\) 的贡献

由于是期望，所以 \(ans[u]=ans[father]+\dfrac{\sum 2^{cnt-1}siz_i}{2^{cnt}}+1\)

化简一下：\(ans[u]=ans[father]+\dfrac{siz[father]-siz[u]}2+1\)

结束

Code

#include
using namespace std;
const int N = 1e5+5;

char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int read(){
    int s=0,w=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return s*w;
}

vectorEdge[N];
int siz[N];
double p[N];
int n;

void dfs(int u){
    siz[u]=1;
    for(auto v:Edge[u])
        dfs(v),siz[u]+=siz[v];
}
void calc(int u){
    for(auto v:Edge[u])
        p[v]=(siz[u]-siz[v]-1)/2.0+1.0+p[u],calc(v);
}

signed main(){
    n=read();
    for(int i=2,f;i<=n;++i)
        f=read(),Edge[f].push_back(i);
    dfs(1),p[1]=1,calc(1);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        printf("%.1lf ",p[i]);
    return 0;
}