堆

堆的概念

• 堆（heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象，即是一种顺序储存结构的完全二叉树。^[1]

提示：完全二叉树

• 完全二叉树：对一棵深度为k、有n个结点二叉树编号后，各节点的编号与深度为k的满二叉树相同位置的结点的编号相同，这颗二叉树就被称为完全二叉树。^[2]

堆的性质

• 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
• 堆总是一棵完全二叉树
• 除了根结点和最后一个左子结点可以没有兄弟结点，其他结点必须有兄弟结点

最大堆最小堆

• 最大堆^[3]：根结点的键值是所有堆结点键值中最大者，且每个结点的值都比其孩子的值大。

• 最小堆^[3:1]：根结点的键值是所有堆结点键值中最小者，且每个结点的值都比其孩子的值小。

代码

定义

有限数组形式

int Heap[1024];    //顺序结构的二叉树

若某结点编号为i，且存在左儿子和右儿子，则他们分别对应

Heap[i*2+1];      //左儿子
Heap[i*2+2];      //右儿子

其父节点

Heap[i/2];		//i的父节点

动态数组形式

在项目开发中，经常以动态数组形式出现，在本文主要对这种形式进行介绍

//默认容量
#define DEFAULT_CAPCITY 128

typedef struct _Heap
{
	int *arr;		//储存元素的动态数组
	int size;		//元素个数
	int capacity;	//当前存储的容量	
}Heap;

操作

• 只使用InitHeap()函数进行初始化即可，AdjustDown()与BuildHeap()仅为堆建立时的内部调用

向下调整结点

• 以创建最大堆为例
• 将“判断最大子结点是否大于当前父结点”处的>=改为<=即可创建最小堆

//向下调整，将当前结点与其子结点调整为最大堆
//用static修饰禁止外部调用
static void AdjustDown(Heap& heap, int index)
{
	int cur = heap.arr[index];	//当前待调整结点
	int parent, child;

	/*
		判断是否存在子结点大于当前结点。
		若不存在，堆是平衡的，则不调整；
		若存在，则与最大子结点与之交换，交换后该子节点若还有子结点，则以此方法继续调整。
	*/
	for (parent = index; (parent * 2 + 1) < heap.size; parent = child)
	{
		child = parent * 2 + 1;	//左子结点

		//取两个子结点中最大节点,(child+1)= heap.arr[child])	//将此处的>=改成<=可构建最小堆
		{
			//不大于，不需要调整
			break;
		}
		else
		{
			//大于，则交换
			heap.arr[parent] = heap.arr[child];
			heap.arr[child] = cur;
		}

	}


}

建立堆

//建立堆，用static修饰禁止外部调用
static void BuildHeap(Heap& heap)
{
	int i;
	//从倒数第二层开始调整（若只有一层则从该层开始）
	for (i = heap.size / 2 - 1; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(heap, i);
	}
}

初始化

//初始化堆
//参数：被初始化的堆，存放初始数据的数组， 数组大小
bool InitHeap(Heap &heap, int *orginal, int size)
{
	//若容量大于size，则使用默认量，否则为size
	int capacity = DEFAULT_CAPCITY>size?DEFAULT_CAPCITY:size;
	
	heap.arr = new int[capacity];	//分配内存，类型根据实际需要可修改
	if(!heap.arr) return false;		//内存分配失败则返回False
	
	heap.capacity = capacity;		//容量
	heap.size = 0;					//元素个数置为0
	
	//若存在原始数组则构建堆
	if(size>0)
	{
		/*
		内存拷贝，将orginal的元素拷贝到堆数组arr中
		size*sizeof(int)为元素所占内存空间大小
		*/
		memcpy(heap.arr,orginal, size*sizeof(int));
		heap.size = size;	//调整大小
		BuildHeap(heap);	//建堆
	}
	
	return true;
}

打印堆

• 实际上是一个层序遍历^[4]

//以树状的形式打印堆
void PrintHeapAsTreeStyle(Heap hp)
{
	queue que;
	int r = 0;
	que.push(r);
	queue temp;

	while (!que.empty())
	{
		r = que.front();
		que.pop();

		if (r * 2 + 1 < hp.size) temp.push(r * 2 + 1);
		if (r * 2 + 2 < hp.size) temp.push(r * 2 + 2);

		if (que.empty())
		{
			cout << hp.arr[r] << endl;
			que = temp;
			temp = queue();
		}
		else
			cout << hp.arr[r] << " ";

	}

}

测试

main函数

int main()
{
	Heap hp;
	int vals[] = { 1,2,3,87,93,82,92,86,95 };

	if (!InitHeap(hp, vals, sizeof(vals) / sizeof(vals[0])))
	{
		fprintf(stderr, "初始化堆失败！\n");
		exit(-1);
	}

	PrintHeapAsTreeStyle(hp);

	return 0;
}

结果

95
93 92
87 1 82 3
86 2

完整代码

#include 
#include 

using namespace std;

//默认容量
#define DEFAULT_CAPCITY 128
typedef struct _Heap {
	int* arr;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

//向下调整，将当前结点与其子结点调整为最大堆
static void AdjustDown(Heap& heap, int index)
{
	int cur = heap.arr[index];	//当前待调整结点
	int parent, child;

	/*
		判断是否存在子结点大于当前结点。
		若不存在，堆是平衡的，则不调整；
		若存在，则与最大子结点与之交换，交换后该子节点若还有子结点，则以此方法继续调整。
	*/
	for (parent = index; (parent * 2 + 1) < heap.size; parent = child)
	{
		child = parent * 2 + 1;	//左子结点

		//取两个子结点中最大节点,(child+1)= heap.arr[child])	//将此处的>=改成<=可构建最小堆
		{
			//不大于，不需要调整
			break;
		}
		else
		{
			//大于，则交换
			heap.arr[parent] = heap.arr[child];
			heap.arr[child] = cur;
		}

	}


}

//建立堆，用static修饰禁止外部调用
static void BuildHeap(Heap& heap)
{
	int i;
	//从倒数第二层开始调整（若只有一层则从该层开始）
	for (i = heap.size / 2 - 1; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(heap, i);
	}
}

//初始化堆
//参数：被初始化的堆，存放初始数据的数组， 数组大小
bool InitHeap(Heap& heap, int* orginal, int size)
{
	//若容量大于size，则使用默认量，否则为size
	int capacity = DEFAULT_CAPCITY > size ? DEFAULT_CAPCITY : size;

	heap.arr = new int[capacity];	//分配内存，类型根据实际需要可修改
	if (!heap.arr) return false;		//内存分配失败则返回False

	heap.capacity = capacity;		//容量
	heap.size = 0;					//元素个数置为0

	//若存在原始数组则构建堆
	if (size > 0)
	{
		/*
		内存拷贝，将orginal的元素拷贝到堆数组arr中
		size*sizeof(int)为元素所占内存空间大小
		*/
		memcpy(heap.arr, orginal, size * sizeof(int));
		heap.size = size;	//调整大小
		BuildHeap(heap);	//建堆
	}

	return true;
}

//以树状的形式打印堆
void PrintHeapAsTreeStyle(Heap hp)
{
	queue que;
	int r = 0;
	que.push(r);
	queue temp;

	while (!que.empty())
	{
		r = que.front();
		que.pop();

		if (r * 2 + 1 < hp.size) temp.push(r * 2 + 1);
		if (r * 2 + 2 < hp.size) temp.push(r * 2 + 2);

		if (que.empty())
		{
			cout << hp.arr[r] << endl;
			que = temp;
			temp = queue();
		}
		else
			cout << hp.arr[r] << " ";

	}

}

int main()
{
	Heap hp;
	int vals[] = { 1,2,3,87,93,82,92,86,95 };

	if (!InitHeap(hp, vals, sizeof(vals) / sizeof(vals[0])))
	{
		fprintf(stderr, "初始化堆失败！\n");
		exit(-1);
	}

	PrintHeapAsTreeStyle(hp);

	return 0;
}

参考