一道“奇怪”的俄罗斯数学竞赛题

在四边形 ABCD 中，AB < AC < BC。从点 D 向 △ABC 的外接圆引切线，切点分别为 E、F。线段 AD 与线段 CE 有交点，∠ABF = ∠DCE。求∠ABC。

分析：这题不提供作图。依题设条件，作图如下：

由 AB < AC < BC 知，△ABC 的三个内角中最大的是 ∠BAC，故 ∠ABC 为锐角。题设中，唯一直接给出的等量关系是 ∠ABF = ∠DCE，∠ABF 是圆 O 的一个圆周角，而 ∠DCE 显然不是，因此如何处理 ∠DCE 是解题的关键所在。

延长 DC 交圆 O 于点 G，连接 EG，如下图所示：

∠DCE = ∠CGE + ∠CEG，∠CGE 和 ∠CEG 都是圆 O 上的圆周角，分别对应圆弧 EC 和 圆弧 CG

而 圆周角 ∠ABF 对应圆弧 AF，于是由 ∠ABF = ∠DCE，有

 AF = EC + CG，即 AE + EF = EF + FG，即有 AE = FG

于是点 A 和 点 G 关于 DO 对称，连接 AG，可知 △DAG 是等腰三角形。

再由 ∠ABC = ∠AGC，可知 ∠ABC = 60° 等价于 △DAG 是正三角形，但仔细分析发现 △DAG 可以是正三角形，也可以不是正三角形。

具体构造 △DAG 不是正三角形的一个例子，如下图所示：

令 △DEF 为一个正三角形，构造圆 O 使得 DE 和 DF 与该圆相切，切点分别为点 E 和点 F；在圆 O 上点 E 右边选定一点 A，点 G 与 点 A 关于 DO 对称。

此时，题设中的条件 线段 AD 与线段 CE 有交点 和 ∠ABF = ∠DCE 均已满足，只差 AB < AC < BC，连接 CO 并延长和圆 O 交于一点，取该点为点 B，如下图所示：

即 △ABC 是一个直角三角形，且显然满足 AB < AC < BC，但此时因为 ∠ADG < ∠EDF = 60°，有 ∠ABC = ∠AGC > 60°.

在手机上找到最初的截屏，是第 41 届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）里的第二题，原题如下：

参考答案对应的部分如下：

 仔细对了一下，发现原题里打头的符号是指代平行四边形。我误解为普通四边形，从而导致了上述不能求出 ∠ABC 的问题。

加上 ABCD 是平行四边形这个条件，由 ∠ADG = ∠ABC = ∠AGD，知 △DAG 为正三角形，于是 ∠ABC = 60°.