浮点数的基本认知

什么是浮点数

很多编程教材和百度出来的文章都会这样说：“计算机中遵循IEEE754规范，小数点飘忽不定的数就是浮点数。”这确实是句废话，你小数点“飘忽不定”，请问“飘忽不定”是怎么体现的，然后背后其原理又是如何的呢？这些被笼统描述甚至不阐述就导致了读者一知半解。
接下来我们利用科学计数法对浮点数开展学习：

8.355 = 8.355 *10 ^0
8.355 = 83.55 *10 ^-1
8.355 = 835.5 *10 ^-2
8.355 = 8355 *10 ^-3
83550000000 = 8.355 *10 ^10
计算机中的表达：
8.355 === 8.355e0
8.355 === 83.55e-1
8.355 === 835.5e-2
8.355 === 8355e-3
83550000000 === 8.355e10

顺理成章的我们将以上的科学计数法总结出一个通用表达式：V = (-1)^S * M * R^E
S：符号位，取值 0 或 1，决定一个数字的符号，0 表示正，1 表示负。
M：尾数，用小数表示，例如前面所看到的 8.355 * 10^0，8.355 就是尾数
R：基数，表示十进制数 R 就是 10，表示二进制数 R 就是 2
E：指数，用整数表示，例如前面看到的 10^-1，-1 即是指数

浮点数用法

从例子出发

接下来我们自定义一些规则，看看如何在32bit中表示一个浮点数。

如图所示，我们定义如下规则：

• 符号位 S 占1bit
• 指数 E 占10bit
• 尾数 M 占21bit
• (D)代表十进制，(B)代表二进制

现在我们将12.125转换为32bit浮点数。
整数：12(D) = 110(B)
小数：0.125(B)) = 0.001(B)
所以：110.001(B) = 12.125(D) = 1.10001 *2 ^2(B)
按自定义规则排列得到：0 1100000000 110001000000000000000
注意： 以上得到的结果不是标准的浮点数排列，而是为了举例子自定义的。

总结

当我们指定的指数位数越大时，浮点数的范围就越大，反之越小。而尾数尾数越大时浮点数精度就越高，反之精度就越低。
早期人们提出浮点数定义时，就是这样的情况，当时有很多计算机厂商，例如IBM、微软等，每个计算机厂商会定义自己的浮点数规则，不同厂商对同一个数表示出的浮点数是不一样的。
这就会导致，一个程序在不同厂商下的计算机中做浮点数运算时，需要先转换成这个厂商规定的浮点数格式，才能再计算，这也必然加重了计算的成本。
那怎么解决这个问题呢？业界迫切需要一个统一的浮点数标准。

浮点数统一标准

直到1985年，IEEE组织推出了浮点数标准，就是我们经常听到的IEEE754浮点数标准，这个标准统一了浮点数的表示形式，并提供了 2 种浮点格式：

• 单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit
• 双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit

为了使其表示的数字范围、精度最大化，浮点数标准还对指数和尾数进行了规定：

• 尾数 M 的第一位总是 1（因为二进制的数只有 1 和 0），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字，双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字
• 指数 E 是个无符号整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。

针对特定情况，还有以下规定：

• 指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数
• 指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）
• 指数 E 全 1，尾数非 0：NaN(Not a Number)
  

回到开篇的例子，我们用统一标准将12.125转换为32bit浮点数看看。
整数：12(D) = 110(B)
小数：0.125(B)) = 0.001(B)
所以：110.001(B) = 12.125(D) = 1.10001 *2 ^2(B)
指数：2 + 127 = 129(D) = 10000001(B)
按统一标准排列得到：0 10000001 10001000000000000000000

精度和范围

精度

浮点数在计算机中存在精度损失。
用“乘二取整，顺序排列”的方法计算 0.2(D) 的二进制数。

0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = 0.4 -> 0 无限循环
...
结果：0.2(D) = 0.00110011...(B)

由于尾数的尾数限制，0.00110011...(B)只会取到限定的位数。这样就导致了尾数精度的损失。
单精度浮点数：0.00000000000000000000001(B) => (1/2)^23(D)
同理，双精度浮点数：(1/2)^52(D)

范围

单精度浮点数：最大范围1.111...111 *2 ^127(B) ~= 2 ^128(D) ~= 3.4 *10 ^38， 最小范围则是在最大范围前面加上负号即可-3.4 *10 ^38。
同理，双精度浮点数：-2 ^1024 ~= -1.79 *10 ^308到1.79 *10 ^308