多重背包问题 II（动态规划）

有 N">N 种物品和一个容量是 V">V 的背包。

第 i">i 种物品最多有 si">si 件，每件体积是 vi">vi，价值是 wi">wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V">N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N">N 行，每行三个整数 vi,wi,si">vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i">i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000">0<N≤1000
0<V≤2000">0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000">0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

解题思路：

N个物品，第 i">i 种物品最多有 si">si 件，所有物品按份划分后，可按照01背包问题求解

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 constexpr int N = 2010;
 8 
 9 typedef struct {
10     int volume;
11     int weight;
12 } goods; // 物品(包含体积和价值)
13 
14 int main() {
15     int n = 0; // 物品个数
16     int v = 0; // 背包容量
17     std::cin >> n >> v; // 输入物品的个数和背包容量
18     vector goodsList;
19     goodsList.clear();
20     vector<int> dp(N, 0);
21     for (int i = 0; i < n; i++) {
22         int volume = 0;
23         int weight = 0;
24         int s = 0;
25         std::cin >> volume >> weight >> s; // 输入每件物品的体积、价值和最大可选择个数
26         // 物品分成log(s)份
27         for (int k = 1; k <= s; k *= 2) {
28             s -= k;
29             goodsList.push_back({k * volume, k * weight});
30 
31         }
32         // 如果物品分成log(s)份后还有剩余，剩下的物品凑成一份
33         if (s > 0) {
34             goodsList.push_back({s * volume, s * weight});
35         }
36     }
37     // 按照01背包问题处理
38     for (auto goods : goodsList) {
39         for (int j = v; j >= goods.volume; j--) {
40             dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods.volume] + goods.weight);
41         }
42     }
43     std::cout << dp[v] << endl;
44     return 0;
45 }