[数论]单位根反演

定义

\[\forall v,[n|v]=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\omega_n^{vk} \]

证明

若\([n|v]\)，显然\(\omega_n^{vk}=\omega_n^{zn}=0\) (z为任意整数)。
否则转化为等比数列求和。

\[\displaystyle \frac{1}{n}\frac{\omega_n^{nv}-\omega_n^0}{\omega_n^v-1}=0 \]

应用

类比莫比乌斯反演消去gcd，此反演可消去公式中的约数符号。