圆锥曲线嵌套的浅薄研究（完整版）
现在有小椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，以及大椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=k\;\;(k>1)\)。
在小椭圆上任意找一点 \(A\)，做小椭圆的切线，交大椭圆于 \(B\)、\(C\)。
性质 \(1\)：\(BC\) 的中点为 \(A\)。
性质 \(2\)：\(\triangle OBC\) 面积为定值 \(\sqrt{k-1}ab\)。
分别过 \(B\)、\(C\) 做大椭圆的切线，交于 \(F\)。
性质 \(3\)：\(\triangle FBC\) 面积为定值 \((k-1)^\frac{3}{2}ab\)。
过 \(F\) 做小椭圆的切线，切点分别为 \(H\)、\(I\)。
性质 \(4\)：\(HI\not\) \(\not\;\;\;\) \(BC\)。
性质 \(5\)：\(|HI|=\dfrac{\sqrt{k+1}}{k}|BC|\)。
取 \(HI\) 中点为 \(J\) 。
性质 \(6\)：\(O\)、\(J\)、\(A\)、\(F\) 四点共线，且 \(k_{OF}\times k_{BC}=-\dfrac{b^2}{a^2}\)。
性质 \(7\)：\(\triangle JBC\) 面积为定值 \(\dfrac{(k-1)^\frac{3}{2}}{k}ab\)。
性质 \(8\)：\(\triangle OHI\) 面积为定值 \(\dfrac{\sqrt{k^2-1}}{k^2}ab\)。
性质 \(9\)：\(\triangle AHI\) 面积为定值 \(\dfrac{(k-1)^\frac{3}{2}\sqrt{k+1}}{k^2}ab\)。
性质 \(10\)：\(\triangle FHI\) 面积为定值 \(\dfrac{(k^2-1)^\frac{3}{2}}{k^2}ab\)。
性质 \(11\)：梯形 \(BHIC\) 的面积为定值 \(\dfrac{(k-1)^\frac{3}{2}(\sqrt{k+1}+k)}{k^2}ab\)。
值得注意的是，圆是椭圆的特殊情况，以上结论对同心圆同样成立，在公式中的特殊性体现为关系：\(ab=r^2\)。
图像（啥也看不见）:
现在有外双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，以及内双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=k\;\;(k>1)\)。
在内双曲线上任意找一点 \(A\)，做内双曲线切线，交外双曲线于 \(B\)、\(C\)。
性质 \(1\)：\(BC\) 的中点为 \(A\)。
性质 \(2\)：\(\triangle OBC\) 面积为定值 \(\sqrt{k-1}ab\)。
分别过 \(B\)、\(C\) 做外双曲线的切线，交于 \(F\)。
性质 \(3\)：\(\triangle FBC\) 面积为定值 \(\dfrac{(k-1)^\frac{3}{2}}{\sqrt{k}}ab\)。
过 \(F\) 做内双曲线的切线，切点分别为 \(H\)、\(I\)。
性质 \(4\)：\(HI\not\) \(\not\;\;\;\) \(BC\)。
性质 \(5\)：\(|HI|=\sqrt{k^2+k}|BC|\)。
取 \(HI\) 中点为 \(J\) 。
性质 \(6\)：\(O\)、\(J\)、\(A\)、\(F\) 四点共线，且 \(k_{OF}\times k_{BC}=\dfrac{b^2}{a^2}\)。
性质 \(7\)：\(\triangle JBC\) 面积为定值 \((k-1)^\frac{3}{2}\sqrt{k}ab\)。
性质 \(8\)：\(\triangle OHI\) 面积为定值 \(k^2\sqrt{k^2-1}ab\)。
性质 \(9\)：\(\triangle AHI\) 面积为定值 \((k^2-k)\sqrt{k^2-1}ab\)。
性质 \(10\)：\(\triangle FHI\) 面积为定值 \(\dfrac{(k^2-1)^\frac{3}{2}}{k^2}ab\)。
性质 \(11\)：梯形 \(BHIC\) 的面积为定值 \((k-1)^\frac{3}{2}(\sqrt{k}+k\sqrt{k+1})ab\)。
性质对于双曲线嵌套：
\[\begin{cases}\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\\\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=k\;\;(k>1)\end{cases} \]结论显然可以类比，不再赘述。
这个图是真的展现不了了(
这下面是比较好康一点的椭圆的相关拓展（
连接 \(BH\)、\(CI\) 交于 \(D\)。
性质 \(12\)：\(O\)、\(J\)、\(A\)、\(F\)、\(D\) 五点共线。
性质 \(13\)：\(\triangle BCD\) 面积为定值 \(\dfrac{(k-1)^\frac{3}{2}}{|k-\sqrt{k+1}|}ab\)。
性质 \(14\)：\(\triangle DHI\) 面积为定值 \(\dfrac{(k^2-1)\sqrt{k-1}}{k^2|k-\sqrt{k+1}|}ab\)。
性质 \(15\)：\(D\) 点的轨迹是椭圆且方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=(\dfrac{\sqrt{k+1}-1}{k-\sqrt{k+1}})^2=\dfrac{k+1-2\sqrt{k+1}}{k^2+k+1-2k\sqrt{k+1}}\;\;\;(k\not=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})\)。
玩到这里，我不禁想到其他几个点的......
性质 \(15\)：\(F\) 点的轨迹是椭圆且方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=k^2\)。
性质 \(16\)：\(J\) 点的轨迹为椭圆， \(HI\) 始终为该椭圆的切线，并且该椭圆的轨迹方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{1}{k^2}\)。
大概可以找到终极结论（文采不太好，见谅）：
从先前讨论的共线点开始，对大椭圆、小椭圆甚至衍生椭圆（就是那些轨迹）做切线，两切点的中点总与 \(O\)、\(A\) 共线。两切点相连形成一条割线，它与其他椭圆都交于一对点，这对点的有着与两切点有相同的性质，比如以这两点为切点做所在椭圆的切线，两切线交点始终与 \(O\)、\(A\) 共线。更进一步来说，我们把这些椭圆上的点任选两对连接求交点，交点总在 \(OA\) 上。同时 \(OA\) 上形成的每一个特殊点的轨迹都是和本源大、小椭圆共中心、等离心率的“衍生椭圆”。更数量化的表现即为在 \(OA\) 上任意取一特殊点，然后在椭圆上的切点对中任选一对，构成的三角形面积总是定值（不随 \(A\) 点的移动而发生改变）。
这个玩意应该对圆锥曲线都成立。
大部分规律没有经过计算验证，如有错误，请为菜鸡博主指出，谢谢资瓷!!1