[考研数学]零点问题与微分不等式

用书：张宇考研数学基础30讲

下多为摘录。

??=总结/不保证对的个人理解。

??=我先挖个坑在这里。

零点问题

• 零点定理（证存在性）

当$ f(x) $在$[a,b]$上连续，$ f(a)\cdot f(b)< 0 $时，则$f(x)$在$(a,b)$内至少有一个根。

• 推广的零点定理

若$ f(x) $在$(a,b)$上连续，$ \lim_{x \to a^{+}}=\alpha,\lim_{x \to b^{-}}=\beta $，$\alpha \cdot \beta< 0 $时，则$f(x)$在$(a,b)$内至少有一个根。

这里的$a,b,\alpha,\beta$可以是有限数，也可以是无穷大。

• 单调性（证唯一性）

若$f(x)$在$(a,b)$内单调，则$f(x)=0$在$a,b$内至多有一个根，这里的$a,b$可以是有限数，也可以是无穷大。

这里$f(x)$在$(a,b)$内单调的充分条件是${f}'(x)$存在且$\neq 0$。

• 罗尔定理推论

若$f(x)=0$至少有$k+n$个根，则$f^{(n)}(x)=0$至少有$k$个根。

逆否命题：

若$f^{(n)}(x)=0$至多有$k$个根，则$f(x)=0$至多有$k+n$个根。

证明：??

• 实系数奇次方程至少有一个实根

证明：$f(x)=x^{2a+1}+a_{1}x^{2n}+ \dots +a_{2n}x+a_{2n+1}$

$\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$，

$\forall M_{1}>0,\exists X_{1}>0$，当$x>X_{1}$时，$f(x)>M_{1}>0$，故$\exists x_{1}>X_{1}$，使得$f(x_{1})>0$；

又$\lim_{x \to －\infty }f(x)=－\infty$，

$\forall M_{2}>0,\exists X_{2}>0$，当$x<-X_{2}$时，$f(x)<-M_{2}<0$，故$\exists x_{2}<-X_{2}$，使得$f(x_{2})<0$；

由$f(x)$连续性与零点定理，知$\exists \xi \in (x_{1},x_{2})$，使得$f(\xi)=0$，即至少有一个实根。

微分不等式

• 用函数性态证明不等式

利用单调性/凹凸性/最值等

1. 若有${f}'(x) \geqslant 0,a$。
2. 若有${f}''(x) \geqslant 0,a
3. 当${f}'(a)>0$时，${f}'(x)>0 \Rightarrow$$f(x)$单调增加；
4. 当${f}'(b)<0$时，${f}'(x)<0 \Rightarrow$$f(x)$单调减少。