数字信号处理中的内插、补零

一、 关于时域采样和频域采样定理

1、A→D

理想时域采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿着频率轴，每间隔采样频率Ωs重复出现一次，并叠加形成的周期函数。（周期性延拓）

• （从信号传输的角度理解：要求信号最高频率不超过采样频率的1/2，才不会产生频谱混叠）
• （从信号A/D设计（匹配接收恢复等）的角度理解：（即奈奎斯特采样定理），要求信号的采样频率大于最高信号最高频率的两倍，才不会产生频谱混叠）

2、D→A

由时域离散信号（幅度连续，即采样信号），恢复时域模拟信号的过程，是时域内插的过程。

• 理想低通滤波器是用g(t) = Sa(Πt/T)=sin(Πt/T) / (Πt/T)函数作为内插函数，T=2Π / Ωs，即：xa(t) = g(t) * x'a(t) 卷积
• 频域上是将原模拟信号的频谱的周期延拓频谱经过理想低通（fh=Π/T）滤波；

3、DTFT→DFT

 离散序列信号的DFT（离散傅里叶变换）的两个物理意义：

• 首先是两个从采样角度出发，其一就是：

1. N点DFT的幅度特性是由DTFT谱（连续谱）等间隔 N 点采样而来；
2. 其二是离散时域序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；

• 其次是，实质上是离散时域序列的周期性延拓序列的频谱特性（是其周期序列的离散傅里叶级数系数的主值序列）

4、频域采样定理：

 由X(k)得到 X(z)或者X（e^jw)的过程，是频域内插的过程。

• 描述：由频域离散采样，可以恢复原来的信号（或者原连续频谱函数： 能恢复得到x(n)后，经过Z逆变换/IDTFT）。
• 条件：频域采样点要满足：N ≥ M，N是等间隔采样点数，M是时域信号序列x(n)的总长度;
• 原因：X（k）的IDFT是原时间序列以N为周期的周期延拓序列的主值序列；
• 频域内插公式：（略）

二、 DFT的应用：（学习那么多变换，当然要学习计算机能处理的离散应用了~）

1、计算线性卷积

简述：分析离散线性时不变系统时，对序列进行滤波处理，需要计算两个序列（长度分别为M、N）的线性卷积，为了提高运算速度，可以用DFT(FFT)计算；

• 先对两个序列补零，序列长度都为L（取 L ≥ N+M-1，满足线性卷积=循环卷积）
• 计算L点的DFT
• 两个DFT序列相乘（得到是两个时域序列的L点的循环卷积的L点DFT ）
• 计算L点的IDFT(得到结果，频域相乘，时域卷积，即为所求线性卷积)

2、DFT对信号进行谱分析

简述：谱分析，就是计算信号的傅里叶变换！

注明：理论上，时间有限的带限信号是不存在的，但是，通过预滤波滤除小幅度的高频部分，通过时域截取有限点，进行DFT，是可以合理近似分析的！

设 ： x(n)和x(k)均为有限长序列；并且是带限的；

• 1、对连续信号系统，基本操作：通过时域采样，DFT进行近似谱分析对离散信号（序列）

  • 连续信号时域采样得到x(n)，再对序列进行N点DFT，得到的X(K)是，x(n)的傅里叶变换在频率区间[0 , 2Π]的N点等间隔采样；
  • 换言之，通过对连续信号采样，并进行DFT再乘以T，得到的是，模拟信号频谱的周期性延拓函数在第一个周期内【0，Fs】上的N点等间隔采样X（k）；
  • 总结：只要，该频域信号X(k)满足时域采样定理，则包含了模拟信号频谱的全部信息，即可由X(k)恢复Xa（jΩ）!
  • 缺点1：如果直接通过X(K)分析模拟信号频谱，是看不到全部的频谱特性，只能看到N个离散采样点的谱线，这就是“栅栏效应”！
  • 缺点2：而且，由于信号截断，导致eg：理想低通滤波器，通过DFT分析，发现低频部分近似理想频响特性，而高频部分误差较大，且整个频响都有波动，这是截断带来的误差，“截断效应”。
    • 栅栏效应：N点DFT是在频率区间[0，2Π]上，对时域离散信号的频谱，进行N点等间隔采样！此采样点之间的频谱是看不到的，此为栅栏效应。此采样点之间的距离，称为频率分辨率！
      • 对抗方法：有限长序列，在原序列尾部补零；无限长序列，增大截取长度及DFT变换区间的长度N（这里还不是很理解，有限长和无限长的处理方式）
      • 作用：从而，频域采样间隔变小。这样，被栅栏挡住的频谱分量就可以被检测到。
    • 截断效应：频谱泄露（展宽）+谱间干扰（旁瓣）
    • 混叠现象：对连续信号采样，需要满足采样定理，否则，DFT分析会有w=Π附近的地方较大误差；一般采样前，进行预滤波滤除高于折叠频率的高频部分，防止频谱混叠；
  • 总结：对于连续信号的谱分析，只需要：采样频率足够高（频谱不混叠）+采样点数满足频率分辨率的要求（N>2fc/F  ，Tp≥1/F），就认为DFT后的离散谱近似表示原信号的频谱！

• 2、对离散信号系统进行谱分析

三、信号的整数倍时域抽取和时域内插

1、时域下采样

（即，时域抽取，注意和补零、内插0、替换0等区分），频域是原信号的频谱的D个平移样本之和，相邻的平移样本在w轴上相差2Π/D，在模拟频率轴上相差Ωs1/D = Ωs2；

• 如果抽取后依然满足奈奎斯特采样定理，就可以恢复原信号
• 否则，就要采用抗混叠滤波器！将信号的频带限制在 Ωs2以下！（损失一些高频部分，保留低频部分）
• 记住：时域抽取（离散化），频域紧密复制（平移求和）

2、时域上采样

（即，时域内插，含义是：在已知的两个采样点之间等间隔地插入I-1个新的采样值）

• 理论实现（概念理解）：将已知的采样序列，进行D/A变换得到模拟信号后，进行更高速率的采样，即可实现时域内插！（缺点：不够经济，且AD变换对信号损害较大）
• 实际实现：在已知的采样序列x(nT1)的相邻的两个样点之间，等间隔插入I-1个零，然后进行低通滤波（也称为，镜像滤波器），即可求得I倍内插的结果。记住1：时域内插0，频域不变！（和时域初步离散采样的频谱一致，原连续i信号的频谱周期性延拓）
  • 上采样，即时域零值内插，频域是和原信号的频域形状一致（幅度和不一致），对比更高速率的采样信号的频谱，多出镜像频谱；
  • 为什么不直接进行镜像滤波，感觉也可以呀，，，（这里还没弄明白）
• 记住2：时域内插原信号值（也就是信号采样率增加），频域分离复制；
• 反之也行！也就是说，频域是分离复制的（换言之，频域周期性延拓的周期变大了），其傅里叶反变换得到的时域信号是更加完整的！（相当于以更高的采样速率，进行了采样！）

四、信号的整数倍频域补零（这个，其实是逆过程了~）

1、频域如果补0，相当于说，将频域的周期性延拓的周期变大了，同上所述，时域相当于更高采样率采样，称之为时域上的 “ 过采样 ”！

2、时域补0，往上翻翻翻（对抗栅栏效应那里，这里有关于频率分辨率，下面做一下理解）

• 设信号长度为，时域采样间隔为，信号共有 N=T0/Ts 个采样点。

  1、对它直接做FFT，可以得到一个由N个点组成、频率上限为（即采样频率，DFT就是原信号频谱周期性延拓频谱的[0，fs]的N点采样。）的频谱，相邻两个点的频率间隔为。越小，代表频率分辨率越高，于是可以称即为频率分辨率。

  2、我们觉得频率分辨率(这里的分辨率仅仅是视觉上的理解噢，注意区分！！)不够。在无法延长原信号的长度或者提高原信号的时域采样率的前提下，一种补救方法是在原信号后补零[时域补零！！！]，得到一段长度为的信号，它含有 kN 个采样点。

    对此信号作FFT，可以得到一个由 kN 个点组成，频率上限为的频谱。这个频谱相邻两点的频率间隔为。这时候得到的，是视觉上看起来，频谱外壳更加光滑、各谱线之间更加紧密。看起来就像是“频率分辨率提高了”，实则不然，栅栏效应只是挡住了部分谱线，实际上，该信号的谱线可以通过内插的方式恢复出信号的“连续谱”，也就是说，更加“密谱线本来就存在的，只是因为栅栏效应，看不到，而通过时域补零，增加了可见范围，貌似频率分辨率提高。

  3、也可以这样说，时域序列补零后得到的频谱的频率分辨率大小：虽然频谱上的点变密了，但新产生的这些点的值，完全可以由原频谱经插值得到，这些点的取值并不是完全独立的，实际上并没有比原频谱包含更多的信息，因此频率分辨率不变，仍为即。（要想增大分辨率F，要增加DFT的有效点数N，或者说增加信号的有效采样信息数！）

• 记住：时域补零抗栅栏，其频谱显示出来的更多！和频率分辨率无关~~

附录：小白还有两处不明白的地方，日后补更！