层次分析法

花了一通宵，总算整明白了，网上的学习资源太复杂，太难了，我就写了篇容易理解的博客，有地方有问题的可以留言。（明天啊呸今天还有课呜呜呜）

层次分析法的概述

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法,是一种系统分析方法。

AHP是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。

层次分析法的基本原理

根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素。从而将问题转换为最低层相对于最高层（总目标）的相对重要尺度的确定或相对优劣次序的排定。

简单的说，就是设置一个尺度，最后计算，谁的最后的值更大就就更好，更优。

层次分析法的应用

• 适用题型：
  • 面临多个方案选择一个最佳方案
  • 给多个对象进行评价，比较出一个最优对象

层次分析法的步骤和方法

第一步：建立层次结构模型

举例如下：

• 最高层（目标层）：决策的目的，要解决的问题
• 中间层（准则层）：考虑的因素，准则
• 最低层（方案层）：决策备选方案

第二步：构造判断矩阵

如果一次性将所有因素的尺度都写出来，这样比较就会比较困难。所以我们采用两两相互比较。

心理学家人为成对比较的因素不宜超过9个，即每层不要超过9个因素。如下表所示：

比如，如果我们想决定A的因素的影响比B的因素影响绝对地强，那么我们设置尺度为9，反之，如果B的因素的影响比A的因素影响绝对地强，那么我们就设置1/9。

于是，我们可以通过尺度来构造矩阵，举例如下：

第三步：层次单排序一致性检验

看上面的那个例子图片。C1与C2之间尺度为1/2，C1与C3之间尺度为4。那么我们可以很明显的推出来C2与C3之间的尺度为8。但是，出现了一个问题。矩阵中C2与C3的尺度为7。这样的矩阵称作不一致矩阵。反之，如果矩阵中所有的元素都满足关系式子，这样的矩阵称作一致矩阵。

在层次分析法中，允许采用不一致矩阵来解决问题。但是如果差别很小的话，可以直接使用不一致矩阵来解决我们的问题。如果差别很大的话，那么该不一致矩阵就会不适用了。这个差别要大到哪种程度呢？这是一个我们要考虑的问题。

这里就用到一致性检验了。我们可以通过一致性检验来检测我们的矩阵是否可以使用。这个部分要用到什么特征向量，特征值，最大特征根之类的。没学过线性代数，反正我看不懂，相信你也看不懂。不过没关系，我发现Matlib有个函数可以直接通过矩阵来求这些东西。所以，这些东西我们先不考虑，然后先学后面的知识！

创始人Saaty 教授规定了一个公式来定义一致性指标：

n代表几阶矩阵，λ表示最大特征根（这个后面会直接用matlib的函数得出，所以请不要焦虑，继续往后面看），CI可以把它当作一个整体看待（是不是整体我也不清楚），它能反应不一致得严重性。

但是严重性要在多少以内到多少我们才能用呢？严重性要超过多少我们不能用这个矩阵呢？这时候引入了下一个公式：

这个CI不用说了，就是我们之前求的那个一致性指标，RI叫随机一致性指标，这个值需要查表获取，具体这个值怎么来的，我建议不要考虑，过程很复杂。只用知道我们用这两个值能够得出一致性比率CR。且规定，当CR小于0.1时，就能通过一致性检验。反之，则不能。

注意：在使用层次分析法中一定要进行一致性检验。

RI查询表如下：

更高阶矩阵请查询：https://wenku.baidu.com/view/18b3870575232f60ddccda38376baf1ffd4fe37f.html

第四步：层次多排序一致性检验

这一步还要对层次分析法进行进一步的检验。不过检验的对象不是第二步所构建的矩阵了。这一步需要对每一个中间层列出最低层相关的矩阵。这样的矩阵记为B₁，B₂，... B_m。并且对每一个矩阵求出它的CI和RI，然后使用下列式子计算它的层次总排序一致性比率：

同样的，如果求出CR小于0.1，它就通过了一致性检验，反之就没有通过。其中a₁,a₂到a_m表示中间各层的权值。

使用层次分析法时，单排序和多排序都要检验。

应用层次分析法的数学建模案例

例子如下：

python代码

我发现这个特征值不是线性代数里面的特征值，不能使用用线性代数里面的求特征值的方法求。这是python代码的求法：

import numpy as np

RI = {1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12,6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45, 10: 1.49, 11: 1.51}
def ahp(data):
	data = np.array(data)
	m = len(data)
	# 计算特征向量
	weight = (data / data.sum(axis=0)).sum(axis=1) / m
	# 计算特征值
	Lambda = sum((weight * data).sum(axis=1) / (m * weight))
	# 判断一致性
	CI = (Lambda - m) / (m - 1)
	CR = CI / RI[m]
	if CR < 0.1:
		print(f'最大特征值：lambda = {Lambda}')
		print(f'特征向量：weight = {weight}')
		print(f'\nCI = {round(CI,2)}, RI = {RI[m]} \nCR = CI/RI = {round(CR,2)} < 0.1，通过一致性检验')
		return weight
	else:
		print(f'\nCI = {round(CI,2)}, RI = {RI[m]} \nCR = CI/RI = {round(CR,2)} >= 0.1，不满足一致性')
A =[[1,4,2,8,2],[1/4,1,1/2,2,1/2],[1/2,2,1,4,1],[1/8,1/2,1/4,1,1/4],[1/2,2,1,4,1]]
ahp(A)