[note]BSGS & exBSGS
BSGS
(感觉这东西还是要写一下)
BSGS主要用于求解形如\(x^k=y\pmod p\)(注意这里p与x互质)这样的方程的最小正整数解的问题
设\(m=\lceil\sqrt p\rceil,k=am-b,a\in[1,m],b\in[0,m)\)
那么上面的方程可以变形成\(x^{am}=yx^b\pmod p\)
枚举\(b\),计算出右边的值存到\(map\)中,枚举\(a\)查表即可
Q:可以枚举左边存表,右边查嘛?
A:可以,但是左边查到表可以直接输出...
顺便一说,map里要存最大值,这样你算出的答案是最小的,所以能更新就更新
复杂度:\(O(\sqrt plogp)\)
模板题[TJOI2007]可爱的质数
#include
using namespace std;
int p;
mapM;
int ksm(int x,int y){
int s=1;
while(y){if(y&1)s=1ll*s*x%p;x=1ll*x*x%p;y>>=1;}
return s;
}
int main(){
int x,y;
cin>>p>>x>>y;
int m=sqrt(p)+1;
int s=y;
for(int i=0;i 扩展BSGS
当p不是素数时(这时x,p不一定互质),
设d=gcd(x,p),
若d不整除y,那么只有y=1时,x=0,其他情况均无解
若d整除y,当d=1时,直接BSGS
否则有$$x^k=y\pmod p$$
继续分解到d=1为止.
\[x^{k-t}×\frac{x^t}{\prod d_i}=\frac{y}{\prod d_i}\pmod{\frac{p}{\prod d_i}} \]然后首先检验x=[0,t)是否为解,显然t是log级别的
如果[0,t)都不是解,由于\(x,\frac{p}{\prod d_i}\)互质,BSGS求解即可
最后记得答案加上t啊
模板题[SPOJ3105]MOD
#include
using namespace std;
int re(){
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*w;
}
int p;
mapM;
void mul(int&x,int y){x=1ll*x*y%p;}
int ksm(int x,int y){
int s=1;
while(y){if(y&1)mul(s,x);mul(x,x);y>>=1;}
return s;
}
void exbsgs(int x,int y){
if(y==1){puts("0");return;}
int d=__gcd(x,p),k=1,t=0;
while(d^1){
if(y%d){puts("No Solution");return;}
++t;y/=d;p/=d;mul(k,x/d);
if(y==k){printf("%d\n",t);return;}
d=__gcd(x,p);
}
int s=y;M.clear();int m=sqrt(p)+1;
for(int i=0;i