【P2325 [SCOI2005]王室联邦】题解
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一道非常好的树上构造题。
首先我们先dfs,对于当前点 \(x\),当其叶子节点(假设为 \(y\))返回以 \(y\) 为根的子树内未分配的节点,我们把它加入到一个集合(假设为 \(S\))。
当 \(S\) 的大小大于 \(B\) 时,我们就可以把 \(S\) 划分到一个省内。
当对 \(x\) 的子树dfs完后,我们把 \(x\) 加入到集合 \(S\) 中,并返回。
这里我们可以证明每次返回的集合 \(S\) 的大小严格小于等于 \(B\)。
- 在未加入 \(x\) 点之前,如果 \(S\) 集合大于 \(B\),按照我们的步骤我们会把它们划分成一个省。所以划分完后,\(S\) 的大小最大为 \(B-1\),加入 \(x\) 后最大为 \(B\)。所以 \(|S|\leqslant B\)。
因此我们也可以证明每次划分出来的省的大小都小于等于 \(2\times B-1\)。
- 由于划分前 \(S\) 的大小最大为 \(B-1\)(前面已证),子树返回的大小最大为 \(B\),故省的大小最大为 \(2\times B-1\)。
dfs后如果集合 \(S\) 非空,我们则把它放入最后一个省里。我们可以证明最后一个省严格小于等于 \(3\times B-1\)。
- 由于最后的集合 \(S\) 未加入之前省的大小最大为 \(2\times B-1\),集合 \(S\) 的大小最大为 \(B\),故加入后这个省的大小最大为 \(3\times B-1\)。
时间复杂度:\(O(n)\)。
要注意的是dfs后要先判断是否存在省再加入。
集合 \(S\) 可以用栈来实现。
Code
// Problem: P2325 [SCOI2005]王室联邦
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2325
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
#define N 1010
struct node
{
int x, y, k, n;
}d[N*2];
int n, m, i, j, k;
int h[N], rot[N], zhan[N], shu[N];
int num, top, u, v;
void cun(int x, int y)
{
d[++k].x=x; d[k].y=y;
d[k].n=h[x]; h[x]=k;
}
void dfs(int x, int fa)
{
int now=top;
for(int g=h[x]; g; g=d[g].n)
{
int y=d[g].y;
if(y==fa) continue ;
dfs(y, x);
if(top-now>=m)
{
rot[++num]=x;
while(top>now) shu[zhan[top--]]=num;
}
}
zhan[++top]=x;
}
signed main()
{
// freopen("tiaoshi.in", "r", stdin);
// freopen("tiaoshi.out", "w", stdout);
n=read(); m=read();
for(i=1; i