层次分析法
title: 层次分析法
date: 2020-02-25 19:14:41
categories: 数学建模
tags: [MATLAB, 评价模型]
mathjax: true
定义
? 层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。
? AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把 复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点。
步骤
第一步递阶层次结构
分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
第二步构造判断矩阵
{1，2，3，...，9}:代表重要程度，逐渐递增
得到一个方阵，我们记为A，对应的元素为\(a_{ij}\).
（1）\(a_{ij}\)表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度。
（2）当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
（3）\(a_{ij}\)>0且满足\(a_{ij}*a_{ji}=1\)（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）
第三步一致性检验
判断矩阵各行（各列）之间成倍数关系
\(a_{ij}\)>0且满足\(a_{ij}*a_{ji}=1\)（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵
若正互反矩阵满足\(a_{ij}*a_{jk}=a_{ik}\)，则我们称其为一致矩阵
注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。
\[\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right]为一致矩阵的充要条件：\left\{\begin{array}{l}{a_{ij}>0} \\{a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1} \\{\left[a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right]=k_{i}\left[a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right]}\end{array}\right. \]\[一致性检验的步骤
第一步：计算一致性指标CI
\[CI=\frac{入_{max}-n}{n-1} \]第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
第三步：计算一致性比例CR
\[CR=\frac{CI}{RI} \]如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对 判断矩阵进行修正。
第四步判断矩阵计算权重
归一化
权重一定要进行归一化处理
eg：
方法1：算术平均法求权重
-
第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和）
-
第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
-
第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
假设判断矩阵为
那么算术平均法求得的权重向量
\[\omega_{i}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i j}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k j}}（i=1，2，...n） \]方法2：几何平均法求权重
几何平均法求权重也有三步：
-
第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
-
第二步：将新的向量的每个分量开n次方
-
第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
-
假设判断矩阵为
那么几何平均法求得的权重向量
\[\omega_{i}=\frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n} a_{k j}\right)^{\frac{1}{n}}}, \quad(i=1,2, \cdots, n) \]方法3：特征值法求权重
假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
-
第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
-
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
实际建模
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
三种权值求平均权值
代码
%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
% 在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子；)表示不显示运行结果
% 多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
% 取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T
disp('请输入判断矩阵A') %matlab中disp()就是屏幕输出函数，类似于c语言中的printf（）函数
% 注意，disp函数比较特殊，这里可要分号，可不要分号哦
A=input('A=');
% 这里输入的就是我们的判断矩阵，其为n阶方阵（行数和列数相同）
% [1 3 1/3 1/3 1 1/3;1/3 1 1/4 1/5 1 1/5;3 4 1 1 2 3;3 5 1 1 2 1;1 1 1/2 1/2 1 1;3 5 1/3 1 1 1]
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 在开始下面正式的步骤之前，我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误
ERROR = 0; % 默认输入是没有错误的
%(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵
[r,c]=size(A);
%size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
%[r,c]=size(A) %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量c
if r ~= c || r <= 1
% 注意哦，不等号是 ~= (~是键盘Tab上面那个键，要和Shift键同时按才会出来)，别和C语言里面的!=搞混了
% ||表示逻辑运算符‘或’（在键盘Enter上面，也要和Shift键一起按） 逻辑运算符且是 && （&读and，连接符号，是and的缩写。 ）
ERROR = 1;
end
% Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。
%(2)检验是否为正互反矩阵 a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1
if ERROR == 0
[n,n] = size(A);
% 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
% 判断是否有元素小于0
% for i = 1:n
% for j = 1:n
% if A(i,j)<=0
% ERROR = 2;
% end
% end
% end
if sum(sum(A <= 0)) > 0
ERROR = 2;
end
end
%顺便检验n是否超过了15，因为RI向量为15维
if ERROR == 0
if n > 15
ERROR = 3;
end
end
if ERROR == 0
% 判断 a_ij * a_ji = 1 是否成立
if sum(sum(A' .* A ~= ones(n))) > 0
ERROR = 4;
end
% A' 表示求出 A 的转置矩阵，即将a_ij和a_ji互换位置
% ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵
% ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵
% MATLAB在矩阵的运算中，“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
% 如果a_ij * a_ji = 1 满足， 那么A和A'对应元素相乘应该为1
end
if ERROR == 0
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
% 第二步：将归一化的各列相加
% 第三步：将相加后的向量除以n即可得到权重向量
Sum_A = sum(A);
% matlab中的sum函数的用法
% a=sum(x);%按列求和
% a=sum(x,2);%按行求和
% a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
% % 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
% % （1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
% % A(2,1) A(3,2)
% % （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
% % A(2,:) A(5,:)
% % （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
% % A(:,1) A(:,3)
% % （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
% % A([2,5],:) 只取第二行和第五行（一共2行）
% % A(2:5,:) 取第二行到第五行（一共4行）
% % （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
% % A(:)
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
% B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
% 另外一种替代的方法如下：
% SUM_A = [];
% for i = 1:n %循环哦，不需要加冒号，这里表示循环n次
% SUM_A = [SUM_A;Sum_A];
% end
Stand_A = A ./ SUM_A;
% MATLAB在矩阵的运算中，“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量，然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
Prduct_A = prod(A,2);
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
% 这里对元素操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
% 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
% （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
% （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D] = eig(A); %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 下面例子来自博客：https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html
% 关于find函数的更加深入的用法可参考原文
% >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6];
% >> ind = find(X)
% ind =
% 1 3 4 8 9
% 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
% >> ind = find(X,2)
% >> ind =
% 1 3
%若X是一个矩阵，索引该如何返回呢？
% >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
% X =
% 1 -3 0
% 0 0 8
% 4 0 6
% >> ind = find(X)
% ind =
% 1
% 3
% 4
% 8
% 9
% 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，我们可以做一下验证：
% >> X(4)
% ans =
% -3
% 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢？
% [r,c] = find(X)
% r =
% 1
% 3
% 1
% 2
% 3
% c =
% 1
% 1
% 2
% 3
% 3
% [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素
% r =
% 1
% c =
% 1
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算，共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 == （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）
% 例如：A > 2 会生成一个和A相同大小的矩阵，矩阵元素要么为0，要么为1（A中每个元素和2比较，如果大于2则为1，否则为0）
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
% 当CR<0.10时，我们认为判断矩阵的一致性可以接受；否则应对其进行修正。
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
elseif ERROR == 1
disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
elseif ERROR == 2
disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
elseif ERROR == 3
disp('A的维数n超过了15，请减少准则层的数量')
elseif ERROR == 4
disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')
end
作业
评价下表中20条河流的水质情况。 注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超 过20或低于10均不好。
topsis作业，求出四个指标的权重。
代码结果
请输入判断矩阵A
A=[1 2 1 4;1/2 1 1 5;1 1 1 3;1/4 1/5 1/3 1]
算术平均法求权重的结果为：
0.3619
0.2761
0.2831
0.0789
几何平均法求权重的结果为：
0.3645
0.2725
0.2852
0.0779
特征值法求权重的结果为：
0.3670
0.2743
0.2813
0.0774
一致性指标CI=
0.0351
一致性比例CR=
0.0394
因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!