中国剩余定理（CRT）小结

求：

\[\Large\begin{cases}S\equiv b_1\pmod {a_1}\\ S\equiv b_2\pmod {a_2}\\ \cdots\\ S\equiv b_i\pmod {a_i}\\ \cdots\\ S\equiv b_n\pmod {a_n}\\ \end{cases}\]

中 \(S\) 的最小值。

考虑对于每一个 \(b_i\) 暴力翻倍，然后加到答案里。

翻多少倍不会影响其他呢？翻 \(\Large\frac{\prod_{j=1}^n a_j}{a_i}\) 倍!

那此时就是求 \(b_i\) 翻多少倍满足满足 \(\frac{\prod_{j=1}^n a_j}{a_i}\times k\equiv b_i\pmod {a_i}\)？

由于本身就是 \(b_i\) 翻倍，所以可以写成 \(\frac{\prod_{j=1}^n a_j}{a_i}\times k\equiv 1\pmod {a_i}\)？

可以看出 \(k\) 就是 \(\frac{\prod_{j=1}^n a_j}{a_i}\) 在模 \(a_i\) 意义下的逆元，可以用来求。