最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree）

问题

最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree，Optimal BST）问题，形式化定义：给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=1, k₂, ..., k_n>（k₁2<...n），用这些关键字构造一棵二叉搜索树 —— 对每个关键字k_i，都有一个概率p_i表示其搜索频率。对于不在K中的搜索值构造n+1个”伪关键字“d₀, d₁, d₂, ..., d_n —— 伪关键字d_i表示所有在k_i和k_i+1之间的值（i=1,2,...,n-1，d₀表示所有小于k₁的值，d_n表示所有大于k_n的值），每个伪关键字d_i对应一个概率q_i（搜索频率）。 

例如，对一个n=5的关键字集合及如下的搜索频率，构造二叉搜索树。逐点计算的期望搜索耗费（contribution = (depth + 1) * probability）如右下表，从表中得到k₅的搜索概率最高，根节点是k₂。

二叉树搜索树的期望耗费：

思路

• 步骤1：最优二叉搜索树的结构，如果一颗最优二叉搜索树T有一颗包含关键字k_i, ..., k_j的子树T'，那么T'必然是包含k_i, ..., k_j和伪关键字d_i-1, ..., d_j的子问题最优解。
• 步骤2：一个递归式，定义w(i, j)是包含关键字k_i, ..., k_j的子树所有概率之和，e[i, j]为期望耗费，则...

• 步骤3：计算最优二叉搜索树的期望代价。

实现

def optimal_bst(p,q,n):
    e=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+2)]
    w=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+2)]
    root=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+1)]
    for i in range(n+2):
        e[i][i-1]=q[i-1]
        w[i][i-1]=q[i-1]
    for l in range(1,n+1):
        for i in range(1,n-l+2):
            j=i+l-1
            e[i][j]=float("inf")
            w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j]
            for r in range(i,j+1):
                t=e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j]
                if t<e[i][j]:
                    e[i][j]=t
                    root[i][j]=r
    return e,root
 
if __name__=="__main__":
    p=[0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2]
    q=[0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1]
    e,root=optimal_bst(p,q,5)
    for i in range(5+2):
        for j in range(5+1):
            print(e[i][j]," ",end='')
        print()
    for i in range(5+1):
        for j in range(5+1):
            print(root[i][j]," ",end='')
        print() 
    

时间复杂度：T(n)=O(n³)
空间复杂度：S(n)=O(n²)

代码引自：算法导论程序39--最优二叉搜索树（Python）_夜空霓虹的博客-CSDN博客_最优二叉搜索树python