拉格朗日乘子法和KKT条件

0 前言

上”最优化“课，老师讲到了无约束优化的拉格朗日乘子法和KKT条件。

这个在SVM的推导中有用到，所以查资料加深一下理解。

1 无约束优化

对于无约束优化问题中，如果一个函数f是凸函数，那么可以直接通过f(x)的梯度等于0来求得全局极小值点。

为了避免陷入局部最优，人们尽可能使用凸函数作为优化问题的目标函数。

凸集定义：欧式空间中，对于集合中的任意两点的连线，连线上任意一点都在集合中，我们就说这个集合是凸集。

凸函数定义：对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y，有f( ax + (1-a)y ) <= a * f(x) + (1-a) * f(y)，几何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值，大于等于两点之间某点的函数值。凸函数的任一局部极小点也是全局极小点

半正定矩阵的定义：特征值大于等于0的实对称矩阵。

半正定矩阵的充要条件：行列式（n阶顺序主子式）等于0，行列式的i阶顺序主子式>=0，i从1到n-1

凸函数的充要条件：如果f(x)在开凸集S上具有二阶连续偏导数，且f(x)的海塞矩阵（二阶偏导的矩阵）在S上处处半正定，则f(x)为S上的凸函数。

2 约束优化定义

考虑带约束的优化问题，可以描述为如下形式

其中f(x)是目标函数，g(x)为不等式约束，h(x)为等式约束。

若f(x)，h(x)，g(x)三个函数都是线性函数，则该优化问题称为线性规划。若任意一个是非线性函数，则称为非线性规划。

若目标函数为二次函数，约束全为线性函数，称为二次规划。

若f(x)为凸函数，g(x)为凸函数，h(x)为线性函数，则该问题称为凸优化。注意这里不等式约束g(x)<=0则要求g(x)为凸函数，若g(x)>=0则要求g(x)为凹函数。

凸优化的任一局部极值点也是全局极值点，局部最优也是全局最优。

3 等式约束

考虑一个简单的问题目标函数f(x) = x1 + x2，等式约束$ h(x) = x_1^2 + x_2^2 - 2 $，求解极小值点。

f(x)在二维平面上画出等高线（contour）就是一条条斜率相同的直线，h(x)=0在二维平面上画出等高线就是一个圆，如下图所示。

可以明显的看出，在圆圈h(x)的限制下，直线f(x)的最小值为-2，在左下角直线x1+x2=2和圆的交点上。

不考虑圆h(x)的限制时，f(x)要得到极小值，需要往f(x)的负梯度（下降最快的方向）方向走，如下左图蓝色箭头。

如果考虑圆h(x)的限制，要得到极小值，需要沿着圆的切线方向走，如下右图红色粗箭头。注意这里的方向不是h(x)的梯度，而是正交于h(x)的梯度，h(x)梯度如下右图的红色细箭头。

在极小值点，f(x)和h(x)的等高线是相切的。

容易发现，在关键的极小值点处，f(x)的负梯度和h(x)的梯度在同一直线上，如下图左下方critical point的蓝色和红色箭头所示。

注意图中所示是同向的，但是这里并不一定是同向，有可能反向（因为等式约束h(x)=0，把h(x)变成-h(x)求解是一样的，这个时候h(x)的梯度就相反了）

由此可知，在极小值点，h(x)和f(x)的梯度在同一线上，有

所以，对于f(x)和h(x)而言，只要满足上面这个式子，同时使得h(x) = 0，解得的x就是我们要求的极小值点（或极大值点，为了简单起见我们只讨论极小值点）

要做到这一点，可以构造一个拉格朗日函数，对函数令偏导等于0求解，恰好等价于“满足上面这个式子，同时使得h(x) = 0"，原问题转化为对拉格朗日函数求极值问题，这就是拉格朗日乘子法，如下图所示（注意一下这个μ的正负变化）。

特别注意：优化问题是凸优化的话，通过上图两个条件求得的解就是极小值点（而且是全局极小）。

不是凸优化的话，这两个条件只是极小值点的必要条件，还需要附加多一个正定的条件才能变成充要条件，如下图所示。

4 不等式约束

对于不等式约束g(x)<=0，和等式约束h(x)=0不一样，h(x)=0可以在平面上画出一条等高线，而g(x)<=0是一个区域，很多个等高线堆叠而成的一块区域，我们把这块区域称为可行域。

不等式约束分两种情况来讨论，第一种是（不考虑可行域限制时的）极小值点落在可行域内（不包含边界），第二种是（不考虑可行域限制时的）极小值点落在可行域外（包含边界）。

下面举两个例子来解释这两种情况，然后总结两种情况给出转换求解。

4.1 极小值点落在可行域内（不包含边界）

考虑目标函数$ f(x) = x_1^2 + x_2^2 $，不等值约束$g(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1$，显然f(x)的极小值为原点(0,0)，落在可行域内。可行域以原点为圆心，半径为1。

这种情况约束不起作用，考虑极小值点x*，这个时候，g(x*) < 0，f(x*)的梯度等于0。

4.2 极小值点落在可行域外（包含边界）

考虑目标函数$ f(x) = (x_1 - 1.1)^2 + (x_2 + 1.1)^2 $ ，不等值约束$ g(x) = x_1^2 + x_2^2 - 1 $，显然f(x)的极小值为原点(1.1, -1.1)，落在可行域外。可行域以原点为圆心，半径为1。

这种情况约束起作用，要考虑求解f(x)在可行域内的极小值点。

对于f(x)而言要沿着f(x)的负梯度方向走，才能走到极小值点，如下图的蓝色箭头。

这个时候g(x)的梯度往区域外发散，如下图红色箭头。

显然，走到极小值点的时候，g(x)的梯度和f(x)的负梯度同向。因为极小值点在边界上，这个时候g(x)等于0。

4.3 总结

极小值点落在可行域内（不包含边界）：这个时候可行域的限制不起作用，相当于没有约束，直接f(x)的梯度等于0求解，这个时候g(x极小值点)<0（因为落在可行域内）。

极小值点落在可行域外（包含边界）：可行域的限制起作用，极小值点应该落在可行域边界上即g(x)=0，类似于等值约束，此时有g(x)的梯度和f(x)的负梯度同向。

总结以上两种情况，可以构造拉格朗日函数来转换求解问题。

对于不等式约束的优化，需要满足三个条件，满足这三个条件的解x*就是极小值点。

这三个条件就是著名的KKT条件，它整合了上面两种情况的条件。

特别注意：优化问题是凸优化的话，KKT条件就是极小值点（而且是全局极小）存在的充要条件。

不是凸优化的话，KKT条件只是极小值点的必要条件，不是充分条件，KKT点是驻点，是可能的极值点。也就是说，就算求得的满足KKT条件的点，也不一定是极小值点，只是说极小值点一定满足KKT条件。

不是凸优化的话，还需要附加多一个正定的条件才能变成充要条件，如下图所示。

5 约束优化总结

拓展一下，对于同时有多个等式约束和多个不等式约束，构造的拉格朗日函数就是在目标函数后面把这些约束相应的加起来，KKT条件也是如此，如下图所示。

6 优化问题的总结

简单总结一下，考虑凸优化问题。

对于无约束的优化问题，直接令梯度等于0求解。

对于含有等式约束的优化问题，拉格朗日乘子法，构造拉格朗日函数，令偏导为0求解。

对于含有不等式约束的优化问题，同样构造拉格朗日函数，利用KKT条件求解。

对于含有约束的优化问题，还可以转化为对偶问题来求解，下篇讲述一下拉格朗日对偶性的问题http://www.cnblogs.com/liaohuiqiang/p/7805954.html。

7 参考资料

瑞典皇家理工学院（KTH）“统计学习基础”课程的KKT课件：http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/KKT.pdf

这门“统计学习基础”的schedule上有一些其它课件：http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Schedule.php