数学/数论专题-学习笔记:概率与期望
- 1. 前言
- 2. 定义
- 3. 理解
- 4. 期望方程
- 5. 总结
1. 前言
概率我们很熟,在数学课本里面我们就已经学到过概率的基本定义以及计算方式。
期望我们不熟,他与概率密切相关,计算方式基于概率。
2. 定义
概率的计算方式不必我多说,各位在数学课中都有了解。
而期望,从某种意义上来讲其实就是一个加了权值的概率。
我将使用一个例子来说明期望是什么:
假设某一天小 z 有一场满分为 100 分的数学考试。他妈妈说:“儿子,如果你能够考到 80 分以上(不含 80),那么我将奖励你 100 元;如果你能够考到 60 分以上(不含 60),80 分以下(含 80),那么我将奖励你 50 元;如果你能够考到 30 分以上(不含 30),60分以下(含 60),那么我将奖励你 30 元;否则你将得不到任何奖励。”
但很不幸的是,小 z 数学考试的时候发挥失常,成绩为 \([1,100]\) 内一个等概率的数,那么请问小 z 得到的期望钱数是多少?
备注:本场考试很难
我个人认为这个例子最能够解释期望的定义。
先列一张表格:
分数区间 | 钱数 | 概率 |
---|---|---|
\((80,100]\) | 100 | 20% |
\((60,80]\) | 50 | 20% |
\((30,60]\) | 30 | 30% |
\((1,30]\) | 0 | 30% |
假设小 z 得到的期望钱数为 \(e\),那么计算公式如下:
\[e=100 \times 20\% + 50 \times 20\% + 30 \times 30\% + 0 \times 30\%=39 \]对比上面那个表格我们会发现:期望就是所有事件发生的概率乘上其代价或价值。
所以期望的定义:
设 \(E(x)\) 为 \(x\) 事件的期望,\(x_i(i \in [1,n])\) 为在 \(x\) 事件中可能会发生的 独立 的事件,\(P(x_i)\) 为其概率,\(V(x_i)\) 为其代价或价值,那么:
\[E(x)=P(x_1) \times V(x_1) + P(x_2) \times V(x_2) + ... + P(x_n) \times V(x_n) \]化简如下:
\[E(x) = \sum_{i=1}^{n}{(P(x_i) \times V(x_i))} \]也就是概率乘以代价的总和。
这就是期望的定义。
3. 理解
对于一个事件数确定的 \(x\)(知道发生几件事,相对应的概率以及代价),有这样两种理解方式:
- 定义。
- 带权平均数。
假设目前已有事件 \(x_{1...n}\) 以及概率 \(P(1...n)\)(使用下标或者括号是一个意思)和代价 \(V(1...n)\),而且所有概率都能统一表示成 \(\dfrac{p_i}{k}\) 的形式(也就是通分),那么我们令第一个事件发生 \(p_1\) 次,第二个事件发生 \(p_2\) 次,以此类推,得到一个代价总和 \(val\),除以 \(k\) 就是期望 \(E(x)\)。
什么意思?还是上面那个例子。
编号 | 分数区间 | 钱数 | 概率 |
---|---|---|---|
1 | \((80,100]\) | 100 | 20% |
2 | \((60,80]\) | 50 | 20% |
3 | \((30,60]\) | 30 | 30% |
4 | \((1,30]\) | 0 | 30% |
在这个例子中,我们可以认为事件 1 发生 20 次,事件 2 发生 20 次,事件 3 发生 30 次,事件 4 发生 30 次,总共发生 100 次,那么期望也可以这么算:
\[e = \dfrac{100 \times 20 + 50 \times 20 + 30 \times 30 + 0 \times 30}{100}=39 \]所以之前提到过,期望从某种意义上就是加了权值的概率。
这个还是有穷状态的 \(x\),我们知道有哪几件事,他们发生的概率,代价等等。
但是有一些事件,我们根本不知道事件个数为多少,或者个数为正无穷,那么这样我们不知道概率,代价,怎么算期望呢?
4. 期望方程
这个时候就要请出期望方程了。
期望方程首先是一个方程,其次,里面的未知数是期望 \(e\)。
还是使用一个例子。
小 z 在考完数学考试后拿到 100 元钱,非常高兴,在抛硬币。话说这两者有关系吗
假设他从第一次开始抛,请问:抛出连续三次正面的期望次数是多少?
如果你不知道期望方程,那么你一定晕了:这是什么问题啊?事件个数不知道、概率不知道、代价也不知道······万一无穷无尽抛不完呢?这难道也有期望吗?
而期望方程,就是解决这一类问题的。
假设期望次数为 \(e\)。在这道题中,代价为抛出的次数。
小技巧:一般情况下,题目问什么,什么就是期望的代价。
如果第一次抛,小 z 抛到了反面,那么很遗憾,这一次作废了,花费了 1 次,而接下来还要再花 \(e\) 次才能抛出连续三个正面(相当于从头开始抛),那么本次概率乘以代价为 \(\dfrac{1}{2} \times (e+1)\)。
如果第一次为正,第二次为反,那么很遗憾,小 z 还要再从头抛,花费了 2 次,接下来还要花费 \(e\) 次,那么本次概率乘以代价为 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+2)\)。
如果前两次都为正,第三次为反,那么小 z 只能认命,从头抛,花费了 3 次,接下来还要花费 \(e\) 次,那么本次概率乘以代价为 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+3)\)。
最后,小 z 抛出了连续三个正面!概率乘以代价为 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times 3\)。
由期望的定义:概率乘以代价的总和 可知:
\[e = \dfrac{1}{2} \times (e+1) + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+2) + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times (e+3) + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times 3 \]解这个方程,得 \(e = 14\)。
所以连续扔出 3 个正面的期望次数为 14 次。
这就是期望方程。
一般我们列期望方程解决期望问题的时候要注意以下几点:
- 确定这个问题事件数是否可以确定,如果可以确定且方便的情况下直接定义式计算。
- 事件数无穷时,我们需要考虑到每一种情况,确认其概率以及代价,此时的代价可能会含 \(e\),这也体现了无穷的特性。
- 方程不要解错。
我才不会告诉你上面那个例题我的方程一开始解错了。
期望方程可以说是期望中的重难点,而很多的期望 dp 也是基于期望方程的。期望 dp 放在另外一篇文章里面讲。
5. 总结
期望定义:
设 \(E(x)\) 为 \(x\) 事件的期望,\(x_i(i \in [1,n])\) 为在 \(x\) 事件中可能会发生的 独立 的事件,\(P(x_i)\) 为其概率,\(V(x_i)\) 为其代价或价值,那么:
\[E(x)=P(x_1) \times V(x_1) + P(x_2) \times V(x_2) + ... + P(x_n) \times V(x_n) \]化简如下:
\[E(x) = \sum_{i=1}^{n}{(P(x_i) \times V(x_i))} \]也就是概率乘以代价的总和。
代价理解:
- 定义。
- 带权平均数。
列期望方程解决期望问题:
- 确定这个问题事件数是否可以确定,如果可以确定且方便的情况下直接定义式计算。
- 事件数无穷时,我们需要考虑到每一种情况,确认其概率以及代价,此时的代价可能会含 \(e\),这也体现了无穷的特性。
- 方程不要解错。