二维与三维坐标变换

二维几何变换

齐次坐标

• 齐次坐标就是用n+1维矢量表示n维矢量，\(p(x,y)\)的齐次坐标表示为\((wx,wy,w)=(X,Y,w)\)。
• 二维规范化齐次坐标：\(w=1\)时，\(p(x,y,1)\)
• 类似三维规范化齐次坐标为\((x,y,z,1)\)
• 齐次坐标的目的：避免了平移变换使用矩阵加法运算，是为了规范化编程。

平移变换

\[ \left [\begin{matrix} x^` \\ y^` \\ 1 \end{matrix}\right ]= \left [\begin{matrix} x+T_x \\ y+T_y \\ 1 \end{matrix}\right ]= \left [\begin{matrix} 1 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & T_y \\ 0 & 0 &1 \end{matrix}\right ] \left [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right ] \]

比例变换

\[ \left [\begin{matrix} x^` \\ y^` \\ 1 \end{matrix}\right ]= \left [\begin{matrix} xS_x \\ yS_y \\ 1 \end{matrix}\right ]= \left [\begin{matrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right ] \left [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right ] \]

旋转变换（相对坐标原点的旋转，后续不特别说明，都是相对坐标原点的）

\[ \left [\begin{matrix} x^` \\ y^` \\ 1 \end{matrix}\right ]= \left [\begin{matrix} xcos\beta-ysin\beta \\ xsin\beta+ycos\beta \\ 1 \end{matrix}\right ]= \left [\begin{matrix} cos\beta & -sin\beta &0 \\ sin\beta & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right ] \left [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right ] \]

三维变换

三维变换矩阵

\[ T= \left [ \begin{matrix} a & b & c & l \\ d & e & f & m \\ g & h & i & n \\ p & q & r & s \end{matrix} \right] \]

其中：

• 比例、旋转、反射、错切变换：

\[ T_1= \left[\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right] \]

• 比例变换

\[ T= \left [ \begin{matrix} S_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

• 旋转变换

\[R_{xyz}(\beta ,\alpha ,\gamma)=R_x(\beta )R_y(\alpha )R_z(\gamma) \]

绕x轴旋转变换	

\[ T= \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\beta & -sin\beta & 0 \\ 0 & sin\beta & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

绕y轴旋转变换	

\[ T= \left [ \begin{matrix} cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

绕z轴旋转变换	

\[ T= \left [ \begin{matrix} cos\gamma & -sin\gamma & 0 & 0 \\ sin\gamma & cos\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

• 旋转变换的性质：（1）旋转变换矩阵是正交矩阵 \(R^T_\theta =R^{-1}_\theta\)；（2）\(R_{- \theta}=R^{-1}_\theta\)
• 反射变换

\[\]

关于x轴的反射	

\[ T= \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

关于y轴的反射	

\[ T= \left [ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

关于z轴的反射	

\[ T= \left [ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

• 错切变换

\[\]

沿x方向错切	

\[ T= \left [ \begin{matrix} 1 & b & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

沿y方向错切	

\[ T= \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ d & 1 & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

沿z方向错切	

\[ T= \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ g & h & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

• 平移变换：

\[ T_2= \left[\begin{matrix} l \\ m \\ n \end{matrix}\right] \]

\[ T= \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & T_x\\ 0 & 1 & 0 & T_y \\ 0 & 0 & 1 & T_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

• 投影变换：

\[ T_3= \left[\begin{matrix} p & q & r \end{matrix}\right] \]

二维三维变换注意点

• 复杂的变换可以由简单变换组合得到

• 变换的顺序很重要，因为矩阵乘法不支持交换律，比如先旋转再平移与先平移再旋转的结果往往是不同的(变换顺序，从右向左看)。

\[先旋转R，再平移T \]

\[\left[\begin{matrix} x^, \\ y^, \\ z^, \\ 1 \end{matrix}\right] =TR \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] \]

\[先平移T,再旋转R \]

\[\left[\begin{matrix} x^, \\ y^, \\ z^, \\ 1 \end{matrix}\right] =RT \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] \]

• 对于如下变换，是先做线性变换，再平移

\[T=\left[\begin{matrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \]

• 相对特定点\(C\)的旋转：先整体平移到坐标原点，再旋转变换，最后再整体移动到原坐标点

\[T(C)R(\alpha )T(-C) \]