1. 曲线的几何性质 - 引言

三维空间上的点P，随着时间的移动，就能够得到三维空间中的一条曲线Curve。

1. 1 直线

先介绍最基本的直线，假设直线上有两点，点p为{1,2,3}，点q为{-1,4,-7}，其中p为起点，当相对时间t为0的时候，位于p点，当时间t发生变化的时候，开始从点p开始进行移动，移动的速度向量为q-p。那么直线方程即：

ClearAll["Global`*"]; p = {1,2,3}; q = {-1,4,7}; L = p + t(q-p);

ParametricPlot3D[L,{t,0,100},AxesLabel->{x,y,z}]

直线上的点运行的速度，即为直线方程对应的导数，也是q-p对应的结果，如下：

D[L,t]

{-2,2,4}

1.2 曲线

对于一般曲线Curve = {px[t], py[t], pz[t]}，即点P随着时间移动得到的轨迹。每一个时刻的点对应的速度向量可以由偏导数计算得到,下面给出一些曲线的示例。

1.2.1 摆线

此处摆线的定义为：假设一个半径为a的园放在x轴上并与(0,0)点接触，现让它沿x轴正方向滚动，那么得到轨迹为α(t)=(a(t-Sin[t]),a(1-Cos[t]))。该求解过程通过坐标变换，很容易得到结果。下面来看一下摆线：

ParametricPlot[{a(t-Sin[t]),a(1-Cos[t])}/.a->1,{t,0,4Pi}]

下面来看下另一种形式的摆线：(x(t),y(t)) = (A + a(t-Sin[t]), B - a(1-Cos[t])).从下图中可以看出该式子得到的是上例中的倒转形式。这引申出另一个证明题：证明对任何选定的初始角度 t₀，粒子总是经过时间 T= Π（其中g为重力加速度）就滑倒底线底部（即t=Π）。

ParametricPlot[{A+a(t-Sin[t]),B-a(1-Cos[t])}/.{A->10,B->15,a->1},{t,0,4Pi}]

1.2.2 星形线

星形线的函数式为：a(t)=(aCos[t]^3, aSin[t]^3), 0?t?2Π。它表示的是一个半径为a/4的圆在半径为a的圆内沿着圆周进行滚动得到的运行轨迹。具体显示如下图。

ParametricPlot[{a*Cos[t]^3, a*Sin[t]^3}/.a->1,{t,0,2Pi}]

1.2.3 箕舌线

引一条过原点即点P的直线，其中P是圆心为(0,a)，半径为a的圆上的任意一点，求此直线与水平线的交点Q。从Q引一条垂线和过点P的水平线相交，这些交点的集合就是，箕舌线。用参数表示为：W(t)=(2aTan[t],2aCos[t]^2)。显示如下图：

ParametricPlot[{2a*Tan[t],2a*Cos[t]^2}/.a->1,{t,0,2Pi},PlotRange->4]

1.2.4 螺旋线

螺旋线的参数方程为a(t) = (aCos[t],aSin[t],bt), 0?t<∞。如下图所示：

ParametricPlot3D[{a*Cos[t],a*Sin[t],b*t}/.{a->1,b->0.1},{t,0,15}]